La igualdad en la aritmética

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«Y es como si no tuvieran reglas de juego: al menos, si las hay, nadie les hace caso...»

Lewis Carroll, Aventuras de Alicia en el País de las Maravillas, Capítulo VIII, “El campo de croquet de la Reina”.

En la identificación «El tercero de la fila es el que me asaltó», el verbo ser no dice que las expresiones «el tercero de la fila» y «el que me asaltó» son iguales (son idénticas), sino que se refieren a un mismo individuo, es decir, que son co-referenciales. Del mismo tipo es la relación de igualdad sobre la que trata la aritmética: «2+2» y «4» no son otra cosa que expresiones que se refieren a una misma cantidad (con mayor precisión, a una misma cardinalidad).
La aritmética trata sobre una igualdad numérica, que se distingue de las otras por la clase de expresiones de las que dice la aritmética que son co-referenciales. Las expresiones específicamente numéricas son dos: números (N-a, N-b, N-c,...) y fórmulas (F-a, F-b, F-c,..., donde se relacionan números o variables o constantes o incógnitas numéricas). La aritmética es la larga definición de la igualdad entre expresiones numéricas.
¿Qué hace que sea necesaria esa definición en que consiste la aritmética? Arriesgo la perogrullada de que es el hecho de que la relación de igualdad entre expresiones numéricas no es irrestricta. Todo el cálculo y sus reglas y propiedades no hacen más que especificar las leyes que rigen esa relación; el juego va trazando la silueta de esa vasta igualdad al deslindar lo lícito de lo ilícito, lo posible de lo imposible, lo cierto de lo falso, etc. Si la relación de igualdad entre expresiones numéricas fuera irrestricta, cualquier y toda relación sería de igualdad; ya no habría no igualdad, diferencia, negación de igualdad. Si esa relación no conociese límites, condiciones, todo enunciado sería verdadero, con tal que esté bien formado (o sea, que observe la sintaxis de un enunciado aritmético: no lo hace, por ejemplo, «3×2+ = 8» porque la primera expresión fracasa sintácticamente en ser una fórmula; tampoco lo hace «2+2 =» porque el enunciado aritmético carece de una de las dos expresiones necesarias para que pueda hablarse de co-referencialidad o igualdad). Satisfechos todos los requisitos sintácticos, si la igualdad numérica fuese irrestricta podríamos establecer tanto que «2+2 = 4» como que «2+2 = 5»; o podríamos afirmar que «1.410 = 2.612» o que «3 = 5».
Por un lado, aun sin conocer ninguna regla de operación o cálculo, podemos saber que el segundo tipo de ejemplos es una igualdad falsa (una jugada ilegal): como verdad de Perogrullo, ningún número es igual a otro. Podemos afinar mejor la restricción: en relación de igualdad podrán entrar fórmulas con fórmulas y fórmulas con números; queda excluida, así, la relación de igualdad de un número con otro. Por otro lado, sólo conociendo las reglas del cálculo aritmético sabemos que el segundo ejemplo del primer tipo («2+2 = 5») también es una igualdad falsa.
La restricción mencionada tiene un interés especial. La formulación negativa que vimos se completa con una cláusula de excepción: no pueden entrar en relación de igualdad dos expresiones que sean ambas números, excepto que sean idénticas. No es otra cosa que el principio de identidad puesto como un axioma, una convención del juego. Sin esa salvedad, la restricción involucraría (e imposibilitaría) las relaciones de esquema «A = A», o sea, las tautologías: «3 = 3», «1.410 = 1.410», etc. Pero si se mira bien, la restricción puede derivarse de su excepción: si decimos que entre los números sólo los que sean idénticos podrán participar de relaciones de igualdad, se infiere que dos números que no son idénticos, como el 3 y el 5, no pueden relacionarse así. La restricción es primitiva, e independiente del cálculo, porque incumbe a términos primitivos, como son los números. Cualquier otra restricción depende de las reglas de operaciones, cuya aplicación hace de la aritmética una fábrica de expresiones (específicamente, fórmulas) a conectar con otras (fórmulas o números).
Así, el juego de la aritmética se inaugura afirmando la identidad de sus piezas simples e iniciales, que son los números (por supuesto, las piezas compuestas y derivadas son las fórmulas bien formadas): 0 es 0, y no 1 ni 2 ni 3 ni 4...; 1 es 1, y no 0 ni 2 ni 3 ni 4...; etc. Esta universal formulación de la identidad en dos tiempos, uno positivo y otro negativo (o uno de igualdad y otro de desigualdad), es una exhibición incesante del hecho (acá, inferido por inducción) de que nunca habrá una igualdad entre dos números no idénticos (1 no es 0, 1 no es 2, 1 no es 3, etc.), sino cada vez y sólo entre dos idénticos (1 es 1).
La identidad de un número («4 = 4») es un caso especial de igualdad numérica, por estatuto lógico (es independiente del cálculo) y por morfología (es la única relación de igualdad admisible entre dos números). Un segundo caso de igualdad es la identidad ya no de un número, sino de una fórmula bien formada («2+2 = 2+2»), que también es independiente del cálculo (aun cuando no lo sea de su sintaxis). La diferencia es que esta no es la única relación de igualdad admisible entre dos fórmulas bien formadas: una cuota importante de información la aporta la aritmética precisamente en las relaciones de igualdad entre fórmulas no idénticas (o sea, relaciones no tautológicas y verdaderas: «2+2 = 13–9»). La otra cuota de información nueva la da el tercer y último caso de igualdad, donde se conectan una fórmula bien formada y un número, en ese orden («2+2 = 4») o en el inverso («4 = 2+2»), según se quiera resolver o analizar.
La primera restricción de la relación de igualdad numérica viene dada, entonces, por el principio de identidad, que no dice sólo que A es igual a A, sino que sólo A es igual a A (y no lo es B ni C ni D, etc.). O a la inversa: la primera restricción a la relación de igualdad entre expresiones numéricas funda o define (si no equivale a) el principio de identidad: ningún par de números no idénticos pueden estar en relación de igualdad.

2.

« ...si surgieran contradicciones en las reglas del juego de las matemáticas, lo más fácil del mundo sería remediarlo. Lo único que tenemos que hacer es una nueva estipulación que cubra el caso en el que las reglas entran en conflicto y asunto arreglado.»

Ludwig Wittgenstein (Observaciones filosóficas, Segundo Apéndice, “Consistencia”)

De un manual de álgebra al que se remitió un amigo, recuerdo siete operaciones de resultado indeterminado, que tienen la forma de una paradoja. Tomemos una de muestra: 0 × ∞. La igualdad (el resultado de equilibrio) de esta operación es indecidible: por un lado, cualquier número multiplicado por infinito da infinito (n×∞= ∞); por otro lado, cualquier número multiplicado por cero da cero (0×n= 0).
Por supuesto, no toda conjunción de dos imperativos universales es problemática. Por ejemplo: por un lado, todo número multiplicado por ∞ da ∞; por el otro, de la multiplicación de todo número por 1 resulta el mismo número. El producto de ∞×1, que es ∞, está en consonancia con las dos reglas; ambas vías convergen al mismo resultado. En cambio, las leyes que pugnan en una relación como 0×∞ constituyen vías divergentes; mejor: son como líneas que, debiendo intersectarse en un punto (un resultado), insisten en permanecer paralelas y dar cada una un total diferente al de la otra.
Como sea, la aritmética no va a resignar todo el alcance que ese “cualquier número” tiene en cada una de las dos fórmulas por un solo caso conflictivo; resignará lo necesario, la parte afectada, haciendo que el número de una fórmula sea la excepción a n en la otra fórmula: todo número multiplicado por infinito —excepto 0— da 1; todo número multiplicado por cero —excepto ∞— da 0. Las excepciones cruzadas mostrarán el mismo número cuando en la operación fatídica se crucen dos instancias de un mismo número. Eso pasa en cuatro de los siete casos problemáticos que conozco; el resto de la lista es este (entre paréntesis, las dos leyes que estarían en conflicto insoluble si la aritmética no les retirara la universalidad con las excepciones a n):

a) 0 ÷ 0 (n ÷ 0 = ∞; 0 ÷ n = 0);
b) 0⁰ (n⁰ = 1; 0ⁿ = 0);
c) ∞ - ∞ (n - ∞ = -∞; ∞ - n = ∞);
d) ∞ ÷ ∞ (n ÷ ∞ = 0; ∞ ÷ n = ∞);
e) ∞⁰ (n⁰= 1; ∞ⁿ = ∞);
f) 1^∞ (n^∞ = ∞; 1ⁿ= 1).

Si la lista es completa, sólo la unidad, la infinitud y la nulidad participan de los casos de inconsistencia en el populoso reino de las n.

3

«“En las reglas no debe haber ninguna contradicción.” Eso suena como una instrucción: “la manecilla de un reloj no debe estar suelta sobre su cilindro”. Uno espera una fundamentación: porque, de otro modo... En el primer caso, esa fundamentación no podría ser sino: porque de otro modo no sería un conjunto de reglas. De nuevo, se tiene aquí una estructura gramatical a la que no se puede dar un fundamento lógico.»

Ludwig Wittgenstein (Gramática Filosófica, Parte II, 14)

Que la relación de igualdad sea transitiva implica que si hay una cadena de igualdades (A = B = C) tales relaciones se suceden, nunca son “simultáneas”; toda igualdad conecta por vez sólo dos términos: A = B, B = C, A = C (a su vez, en el tránsito a la última se conectan las dos primeras para entonces conectar ese dúo a la tercera: si A = B y B = C, entonces A = C).
Volvamos a nuestra muestra. Como vimos, antes de que la aritmética reaccione con las excepciones cruzadas, la gentileza de que 0 e ∞ ocupen el lugar de n en la fórmula del otro, en vez de no ocuparlo, conduce a la paradoja de merecer ambos ser el resultado de la operación «0 × ∞», de ser ambos la expresión numérica que equilibra el enunciado aritmético, que satisface su necesidad de igualdad. Lo paradójico de este enunciado consiste en que, por la propiedad transitiva de la relación de igualdad, se está afirmando que «∞ = 0», ya que en los equilibrios «0 × ∞ = ∞» y «0 × ∞ = 0» la misma expresión numérica de la izquierda se iguala a dos diferentes de la derecha: si el A «∞» es igual al B «0 × ∞» y el B «0 × ∞» es igual al C «0», entonces el A «∞» es igual al C «0», no menos que si «4 = 2+2» y «2+2 = 5», entonces «4 = 5» (para decirlo con Euclides y la Tortuga de Lewis Carroll: si dos cosas son iguales a una tercera, son iguales entre sí).
Afirmar la igualdad de lo diferente es negar la identidad, que dice que sólo dos números idénticos pueden ser iguales; si «∞ = 0» fuera verdadero, entonces esa restricción caería: dos números no idénticos estarían en relación de igualdad, y cualquier número podría ser él mismo y otro. De ahí que la paradoja sea una anti-tautología, una negación de lo que hace al principio de identidad.

4

El juego de ir estableciendo co-referencialidades entre expresiones numéricas es signo del juego de ir equilibrando valores o coleccionando equilibrios mientras se va mejorando el arte de encontrarlos y el conocimiento de sus dependencias y de sus derivas. Los equilibrios iniciales son autoequilibrios (3 = 3); cualquier otro equilibrio se da entre diferentes piezas autoequilibrables, es decir, sometibles al principio de identidad, a la afirmación que habilita o postula una pieza más en el juego de la predicación y que es una tautología abreviada: la pieza X es (...la pieza X). Detengámonos un poco en este punto.
La afirmación de la pieza implica y significa menos la existencia de X que su aptitud y disposición para recibir predicados en el juego de aplicarlos, para habilitar que hablen de X. Ese «X es (X)» no equivale exactamente a un “X existe” —si es un no evento— o a un “X tiene lugar, sucede” —si es un evento—; equivale a un “Hay algo a lo que llamamos X (y de lo cual no predicamos ninguna otra cosa)”, que es el presupuesto tautológico de “Hay X”. Es el grado cero de la presuposición; los presupuestos de los grados positivos no son tautológicos porque presuponen —sin serlo— ese “Hay X” que le franquea a X el ingreso al juego de los predicados: “X existe”, “X es un Y”, “X es como un Y”, “X hace y sufre lo que hacen y sufren los Y”, “X está en una Z”, etc., presuponen que hay algo a lo que se llama X y de lo cual se predica que existe, que es un Y, que es como un Y, que hace y sufre lo que hacen y sufren los Y, que está en una Z, etc.

5

En el juego de la aritmética, como en el juego del sentido, del lado de lo necesario para jugar, de lo sobreentendido de tan indispensable, hay tautologías: igualdades de lo idéntico. Del lado opuesto, el de lo imposible y lo inviable, hay anti-tautologías: igualdades de lo diferente o desigualdades de lo idéntico. En el medio, en la zona de lo posible —ni necesario ni imposible—, hay co-referencialidades de lo diferente: los predicados de equilibrio ni tautológicos (de un número N-a: «3 = 3»; de una fórmula F-a: «2+1 = 2+1») ni anti-tautológicos (directos: «3 = 5»; indirectos: «2+1 = 4+1»), a saber: el análisis o descripción que hace un predicado como «3 = 2+1»; la identificación o resolución que hace el predicado inverso, «2+1 = 3»; y la equivalencia o co-referencialidad de «2+1 = 4-1».
A diferencia de las dos tautologías y de la anti-tautología directa, para interpretar la indirecta y los otros predicados de equilibrio necesitamos conocer el reglamento del juego: son relaciones calculables, su verdad depende de las reglas del cálculo. Así, «F-a = F-b» puede ser una igualdad verdadera o falsa, pero no necesariamente contradictoria (sino ocasionalmente, cuando calculamos que expresa y equivale a «N-a = N-b»). En cambio, «N-a = N-b» está más acá de la distinción verdadero-falso —que corresponde a lo posible—, porque es automática y necesariamente contradictoria.
Resumamos. La estipulación de que 3 es 3, que equivale a decir que 3 es, que hay una pieza del juego de igualación aritmética a la que llamamos “3”, es por definición fundamental; afectarla es afectar el juego en su regla más básica, la afirmación de identidad que le provee piezas. Eso es precisamente lo que hace una paradoja. (Al menos un argumento del juego imposibilita el juego. Si esto no fuese posible, el juego podría ser irrestricto o absoluto.)
Dejo el tema de las variedades paradojales del lado de lo imposible, en la colonia de anti-tautologías, para otro ensayo.