Los transfinitos <sub>(Capítulo 2: El Teorema de Cantor)</sub>

Tamaños infinitos desiguales:
el infinito XL

1. De conjuntos, selecciones y subconjuntos

Podemos seleccionar los miembros de un conjunto de a 1, de a 2, de a 3, etc; podemos seleccionarlos, en general, hasta de a n (siendo n el número total de miembros que tiene el conjunto). Cada una de estas selecciones forma un conjunto que está incluido en aquel al que pertenecen los miembros seleccionados; se trata, por lo tanto, de un subconjunto suyo. Luego, un conjunto A₁ es un subconjunto de un conjunto A si todos sus miembros son también miembros del conjunto A. Así de simple, pero así de relevante al momento de comparar tamaños. Antes, enumeremos los tipos de subconjuntos que puede haber (más uno que no):

subconjuntos unitarios

conjunto vacío

2. Menú de postres (conjunto) y menú de combos (conjunto potencia)

   Supongamos que he almorzado y llega el momento del postre. El restaurante del Hotel Hilbert es modesto: el menú sólo incluye flan, helado y torta. Mis opciones no son misteriosas: puedo elegir uno de esos postres, algunos, todos o ninguno.
   Se suele llamar “combo” a una combinación plural (ni unitaria ni vacía) de los items de un menú, armada para hacer (o fingir) una oferta. Pasando por alto esta motivación comercial y aquel requisito cardinal (¿qué sentido práctico puede tener hacer un combo unitario o uno vacío?), generalicemos y llamemos “combo” a cualquier selección de elementos de un menú. Cualquiera: desde la selección exhaustiva, que no renuncia a ninguno (el combo mide lo que el menú), hasta la que renuncia a todos (0) o a todos menos uno (1), pasando por las plurales que hay entre 1 (uno) y todo.
   Entonces: el menú consiste en un conjunto de postres; un combo, en un conjunto integrado por al menos uno de esos postres (uno, algunos o todos) o por ninguno. Cada postre del menú tiene sólo dos alternativas en relación con un combo: figurar o no en él, integrarlo o no. En términos conjuntistas, cada miembro de un conjunto tiene dos alternativas en relación con cada subconjunto: pertenecer o no a él.
   ¿Y ante cuántos combos cada elemento levantará una calavera y recitará: “Estar o no estar: esa es la cuestión”? El número de combos es una relación entre el número de alternativas que tiene un postre en un combo y el número de postres que ofrece el menú: 2³ = 8 combos u opciones de combinación, en nuestro ejemplo; y generalizando, un conjunto de n miembros tendrá 2ⁿ subconjuntos. Al conjunto cuyos miembros son los subconjuntos de un conjunto cualquiera A se lo llama conjunto potencia de A; en símbolos, P(A).

2.1 Subconjunto propio

Toma 1
   Cualquier subconjunto que no sea el subconjunto que selecciona todos los elementos disponibles (es decir, cualquier subconjunto que no coincida con la totalidad) es un subconjunto propio del conjunto en cuestión.

Toma 2
   Todos los elementos de un subconjunto propio de A son también elementos de A, pero no a la inversa.

Toma 3
   Debe haber al menos un elemento de A que no sea elemento del subconjunto para que éste sea un subconjunto propio, es decir, para que se trate de un conjunto incluido en A que sea diferente de A.

Una relación recíproca de inclusión entre dos conjuntos —donde todos los miembros del primero son miembros del segundo, y viceversa— implica la identidad entre sus miembros, lo que a su vez implica la identidad de los conjuntos; no otra es la relación entre un conjunto A y el subconjunto que selecciona todos sus miembros.

   Así, un conjunto de n miembros tendrá 2ⁿ – 1 subconjuntos propios (el excluido es el subconjunto que coincide con la totalidad). Por ejemplo: los 2² – 1 = 3 subconjuntos propios del conjunto {a, b} son el subconjunto vacío, Ø; el subconjunto {a}; y el subconjunto {b}.

2.2 Tricotomía

   Un conjunto infinito se distingue de uno finito en que sus miembros pueden correlacionarse con los de un subconjunto propio. Ese era el caso, por ejemplo, del conjunto de los números naturales, correlacionado con el de sus cuadrados (n²) o con el de los naturales pares (2 × n). Lo que a un conjunto finito le está negado, a uno infinito lo caracteriza, lo define.
   La Ley de la Tricotomía dice que siempre se pueden comparar dos conjuntos por su tamaño y decidir si son iguales o si uno es menor que el otro. ¿Cómo? Para cualesquiera dos conjuntos que comparemos, sean finitos o infinitos, serán iguales si sus miembros se pueden poner en una correspondencia 1 a 1 (o biyección); y uno será menor que el otro si no alcanza a correlacionarse con él y sí con alguno de sus subconjuntos propios (que por definición son distintos que el conjunto, porque son los que no coinciden con la totalidad). Veremos que este será el caso de cualquier conjunto en relación con su conjunto potencia.

3. Emparejando postres y combos

   Pasemos revista a nuestras ocho posibilidades (el orden en que aparecen los postres en un combo es indiferente).

•

⁰

•

En abreviaturas, y cada uno de ellos con un apodo propio, los combos que se pueden hacer con nuestro menú de 3 postres son los siguientes subconjuntos:

   Como 2³ es mayor que 3, es evidente que si quisiéramos poner en pareja a los postres del menú con los combos siempre nos quedarían 2³ – 3 = 5 combos sueltos. Tal vez también nos resulte evidente que cualquier número finito de postres conservará tanto la superioridad 2ⁿ > n como la igualdad entre 2ⁿ–n y el número de combos no correspondidos; la gracia es demostrar que estas relaciones se conservarán también con un número infinito de postres.

   Empecemos por la demostración de que la cantidad de subconjuntos que se pueden hacer con los miembros de un conjunto A cualquiera (finito o infinito) es mayor que la cantidad de miembros del propio conjunto; en símbolos, P(A) > A.
   Lo primero que conviene advertir es que la cantidad de subconjuntos no puede ser en ningún caso menor que la de elementos. Con cada elemento de un conjunto se puede formar un subconjunto que lo tiene por único miembro (es decir, un subconjunto unitario); luego, todo conjunto, finito o infinito, tendrá al menos igual número de subconjuntos que de miembros (incluido el conjunto vacío, cuyo único subconjunto no es un subconjunto unitario).

   El conjunto de los combos unitarios que se pueden hacer con el menú de tres postres constituye una parte (un subconjunto propio) del total de combos. Y sabemos que una parte de un conjunto finito no puede tener el mismo número de miembros que el conjunto, sino uno menor (esa imposibilidad lo diferencia, suficientemente, de un conjunto infinito). Por lo tanto, si hay menos combos unitarios que combos de un menú finito, y si hay tantos combos unitarios como postres de cualquier menú (finito o infinito), entonces hay menos postres que combos de un menú finito.
   Pero un subconjunto propio de un conjunto infinito sí puede tener el mismo número de miembros que el conjunto, como ocurre entre los naturales y los naturales pares (esa posibilidad lo diferencia, suficientemente, de un conjunto finito, donde la parte nunca puede ser igual al todo). A priori, nada impide que lo mismo ocurra entre el conjunto de los ℵ_o combos unitarios de un menú de ℵ_o postres y el conjunto de todos los combos, unitarios y no unitarios.
   Nada lo impide pero algo lo frustra: la demostración de que 2ⁿ es mayor que n aun cuando n sea infinito, lo que prestará indirectamente el servicio de demostrar que el número infinito de combos (2^ℵ_o) que se pueden hacer con ℵ_o postres es mayor que el número infinito de combos unitarios (ℵ_o). Antes de pasar a la prueba, recordemos que si el número infinito de combos no es igual al número infinito de postres, entonces debe ser mayor, ya que la existencia de tantos combos unitarios como postres descarta la posibilidad de que sea menor.

3.1 El combo δ

   Supongamos que, pese a la evidencia, intentamos correlacionar cada postre de nuestro menú finito con un combo, en la esperanza de abarcarlos a todos. Por supuesto, la tarea fracasa en su tercer paso, a cinco del final. Una tentativa posible se vería así:

   Nombrados por orden de aparición, en la correlación han entrado los subconjuntos “el movedizo”, “el frío movedizo” y “el chancho”; los otros cinco se quedaron afuera.
   Concentrémonos en las parejas: de un lado hay 1 postre del menú y del otro hay 1 combo, donde puede haber al menos 1 postre del menú o ninguno. Siendo todo lo que hay para ver, nos entretenemos pensando si un combo tiene entre sus postres al postre con el que está asociado.
   Notamos que no es el caso de la primera pareja: el combo “el movedizo”, formado por la única selección de un flan, no está asociado a un flan, sino a una torta. La situación cambia con la segunda pareja: en el combo “el frío movedizo” se encuentra el helado, que es el postre con el que está asociado. La discordia retorna con la tercera pareja: el combo “el chancho”, cuyo postre solitario es una torta, no está correlacionado con la torta del menú, sino con el flan.
   El ejercicio nos sugiere la fórmula de un nuevo combo: el combo de los postres que no integran el combo con el que están asociados; llamémoslo δ.

La letra griega delta se corresponde con nuestra “d”, que es la inicial de “diferencia” y de “diagonal”; más adelante veremos cómo el subconjunto δ, cuya formulación implica una diferencia respecto de todos los subconjuntos correlacionados, se obtiene mediante lo que se conoce como el método diagonal de Cantor.

Los postres que integran nuestro combo δ son, para el caso, la torta y el flan. En tanto consiste en una combinación de postres del menú, se trata de un combo como cualquier otro. Y si queda alguna duda, bastará con señalar que, ni bien lo expresamos (a saber: {t, f}), advertimos que el subconjunto δ y el subconjunto “el chancho movedizo”, que es uno de los cinco no emparejados, tienen los mismos elementos; luego, por el principio de extensionalidad, son el mismo conjunto. δ no forma un nuevo combo; identifica uno ya formado.

   Se llama extensión de un conjunto a las cosas que caen bajo la propiedad que define al conjunto, que de ese modo acreditan su membresía. El principio de extensionalidad dice simplemente que dos conjuntos con la misma extensión (y se supone, si no se quiere ser tautológico, con diferentes propiedades definitorias) son el mismo conjunto.
   El conjunto de los triángulos y el conjunto de los polígonos de 3 lados son el mismo conjunto porque tienen los mismos miembros. Otro tanto puede decirse del conjunto de las zanahorias con alas y del conjunto de los celulares del siglo XIX, si aceptamos que no tener ningún miembro es tener los mismos miembros (la misma membresía, si se prefiere).
   La diferencia es que entre "triángulos" y "polígonos de 3 lados" hay una relación de definición, mientras que "los celulares del siglo XIX" no define ni dice nada de "las zanahorias con alas", y viceversa. Aunque tenga muchos nombres, hay un solo conjunto de triángulos; aunque sus muchos nombres no se relacionen entre sí, hay un solo conjunto vacío.

Los 2ⁿ subconjuntos de un conjunto de n miembros preexisten al planteo de si todos ellos pueden estar en pareja monogámica con un miembro del conjunto. Por lo tanto, si creemos que siempre hay al menos uno que queda afuera de la correlación, nuestro problema será indicar cómo identificarlo. Y si una visita divina nos hubiera revelado que, efectivamente, hay ahí 2ⁿ–n subconjuntos no correlacionados, nuestro problema sería entonces cómo identificar, cada vez, siquiera uno de esos 2ⁿ–n subconjuntos. Como solución a ese problema, Cantor da con la propiedad que funda a δ.

3.2 δ y el chancho movedizo

¿Qué diferencia a las dos definiciones del subconjunto? La definición de “el chancho movedizo”, combo del menú compuesto por la torta y el flan, no es determinante para que el combo sea uno de los cinco excluidos de la correlación; la definición de δ, combo de los postres que no integran el combo con el que están asociados, sí lo es.

   Si todos los postres del menú integrasen el combo al que están asociados, la definición de δ no perdería su fuerza de exclusión: en ese caso, el subconjunto que se demuestra que no puede participar de ninguna correlación es el subconjunto vacío; él sería δ en esas condiciones. He aquí un juego de correlaciones donde sucede esto:
   t ↔ {t, f}
   h ↔ {t, h}
   f ↔ {h, f}
   El subconjunto δ de este juego no tiene ningún miembro: es Ø, “las ganas”, uno de los cinco subconjuntos excluidos.

“El chancho movedizo” está sin pareja en el diseño de correlaciones que vimos, y puede estarlo en otros, pero no en todos; en cambio, δ está sin pareja en cualquier diseño y en todos. Por lo tanto, δ puede ser idéntico a cualquier combo del menú, y lo será incluso antes de agotar todos los posibles diseños de correlaciones, para ser otra vez el avatar de alguno de los ocho. Veamos ocho posibles juegos de asociaciones, en cada uno de los cuales δ asume la identidad de un combo diferente:

3.3 δ, diferente por definición

   Desarrollar 2ⁿ juegos de correlaciones entre los n miembros de un conjunto y algunos de sus 2ⁿ subconjuntos en ningún caso es necesario para demostrar que no hay juego en el que se logre la igualdad numérica (la correspondencia perfecta) entre miembros y subconjuntos.
   Más económico, elegante y contundente es atender a la definición de δ. En razón de la propiedad o predicado que lo funda, δ es tal que cualquier subconjunto S que esté correlacionado con un elemento del conjunto diferirá de δ en al menos 1 miembro, presente en δ y ausente en S, o presente en S y ausente en δ.
   Si el rastrillaje lo hacemos en nuestro primer juego de correlaciones, comprobaremos que δ —en este caso, el combo {t, f}— no es (idéntico a) el combo asociado al primer postre del menú, ya que el combo δ contiene una torta y el combo examinado —{f}, “el movedizo”—, no. Tampoco es el combo asociado al segundo postre del menú —{h, f}, “el frío movedizo”—, ya que éste contiene un helado y δ no. Finalmente, tampoco es el combo asociado al tercer postre —{t}, “el chancho”—, del que difiere porque δ tiene un flan y el otro no.
   Las presencias o ausencias que determinan las diferencias entre el subconjunto δ y los subconjuntos listados no son casuales; resultan de la lógica interna de δ, de su propiedad definitoria. La diferencia de δ respecto de cualquier subconjunto que se encuentre en correspondencia con un miembro del conjunto es, por lo tanto, necesaria; está inscripta en su definición.

La infructuosa búsqueda de identidad que δ emprende a lo largo de los subconjuntos emparejados, barriéndolos uno a uno, no está limitada a ningún número de verificaciones; esa rueda de reconocimiento, de fracaso forzoso, no tiene un tope de integrantes. El subconjunto δ siempre será otro que los emparejados, cualquiera sea el número de éstos (es decir, cualquiera sea el número de elementos, que es, por definición, el mismo que el de subconjuntos emparejados).

   Atravesada la región de las parejas, δ proseguirá la búsqueda de su identidad en la región de los subconjuntos solitarios, donde encontrará uno del que no diferirá en ningún elemento. Si n = 3, δ será uno de los 2³ – 3 = 5 subconjuntos sueltos; si n = ℵ_o, δ será uno de los 2^ℵ_o – ℵ_o = 2^ℵ_o subconjuntos sueltos. En virtud de esta identidad extramuros y aquella diferencia intramuros, fracasa la pretensión de correlacionar todos los subconjuntos de A con todos los miembros de A.
   Recapitulemos. Por el principio de extensionalidad, δ será (igual a) uno de los subconjuntos de A (donde A es un conjunto cualquiera); por su definición, δ será uno de los subconjuntos no correlacionados con ningún elemento de A. De ahí se deduce que el lugar de δ en la lista de subconjuntos de A estará entre el subconjunto que ocupa el lugar n (exclusive) y el subconjunto que ocupa el lugar 2ⁿ (inclusive). Como δ puede ser un subconjunto cualquiera de los comprendidos en este intervalo, el número de todos ellos (la magnitud del intervalo) es igual a 2ⁿ–n para un conjunto de n miembros; en breve veremos el caso en que n es infinito.

3.4 δ en una demostración por el absurdo

   Por mucho que facilite la comprensión del argumento, el rastrillaje en un juego de correlaciones que esté en representación de todos, que valga por cualquier juego que pueda hacerse, es prescindible si atendemos un poco mejor a la definición de δ. La prueba a desarrollar es indirecta: una demostración por el absurdo. Se trata de conceder, a título de hipótesis, que δ está en pareja con un miembro del conjunto, y observar qué pasa a partir de ese supuesto. De un imposible sólo cabe esperar un absurdo; si ese no es el caso, es que no era un imposible.
   Convengamos en llamar m al hipotético miembro de un conjunto A correlacionado con el subconjunto δ, que —recordemos— es el conjunto de los miembros de A que no pertenecen al subconjunto con el que están correlacionados. El miembro m debe o bien pertenecer o bien no pertenecer a δ, como cualquier otro miembro de A correlacionado con un subconjunto de A. Pero cualquiera de las dos opciones (y otra no hay) nos lleva a una contradicción:

¿Qué hacer? Aceptada la impenetrabilidad del absurdo, retrocedemos hasta el desvío que nos condujo al callejón sin salida y declaramos falso el supuesto de que hay un elemento de A correlacionado con δ. Por lo tanto, la moraleja inmediata es que cualquier elemento de A (recordemos que m era un elemento cualquiera de A) fracasa en correlacionarse con δ. La moraleja mediata es que no puede haber una correlación uno a uno entre todos los elementos de A y todos los subconjuntos de A.

Los argumentos afirman cosas diferentes y complementarias: el primero afirma que el subconjunto de A identificado por δ no está emparejado (verificación heurística) ni puede estar emparejado (corolario de la propiedad definitoria de δ) con ningún miembro de A; el segundo, que ningún miembro de A puede estar emparejado con δ (el otro corolario de la propiedad definitoria de δ).
Por definición, δ, en razón de diferir de cualquier subconjunto emparejado, no puede estar emparejado con ningún miembro de A. Por absurdo, ningún miembro de A puede estar emparejado con δ, si no es siendo y no siendo a la vez miembro de δ.

Resumamos. El Teorema de Cantor dice que para todo conjunto, finito o infinito, la cantidad de sus subconjuntos es mayor que la de sus miembros. Expresado como una relación entre conjuntos, P(A) > A; expresado como una relación aritmética, 2ⁿ > n.

De ahí se deduce que no puede haber un conjunto de tamaño máximo (ni, en consecuencia, un cardinal que exprese tamaño tamaño), ya que, cualquiera sea el que se postule, su conjunto potencia será mayor que él: si el postulante es el conjunto potencia de N, pierde frente a su conjunto potencia: P(P(N)) > P(N); y éste a su vez pierde frente al suyo: P(P(P(N))) > P(P(N)); y así ad infinitum.
El mismo despliegue sin fin podríamos hacer con los postres, los combos de postres, los combos de combos de postres, los combos de combos de combos de postres, etc.: 3 < 2³ = 8 < 2⁸ = 256 < 2²⁵⁶, etc.

3.5 δ y el método diagonal

Para cualquier juego de correlaciones que se diseñe, la identificación infalible de un combo no correlacionado con ningún postre puede alcanzarse mediante la formulación del combo δ, como vimos recién, o mediante lo que se conoce como el método diagonal, con el que identificaremos el mismo combo desapareado que identifica δ (en el juego de asociaciones utilizado, el combo {t, f}). Se trata de otro modo de presentar δ.
Para formar el tablero sobre el que discurrirá la diagonal, pongamos primero en fila los miembros del conjunto (los postres del menú) y luego generemos cada uno de sus subconjuntos (cada combo) colocando una tarjeta gris debajo de un miembro si no pertenece al subconjunto y una blanca si pertenece. La lista de los 2³ = 8 subconjuntos así obtenida figurará un tablero cuadrangular de tarjetas grises y blancas.

Una vez establecidas las correspondencias posibles entre postres —miembros de A— y combos —miembros de P(A)—, la identificación de un combo no apareado se realiza invirtiendo el color de las tarjetas de la diagonal que recorre el tablero de NO a SE:

Si se quiere verificar heurísticamente que el combo resultante, {t, f}, no es (idéntico a) ninguno de los combos alcanzados por las correlaciones con postres, bastará compararlo con cada uno de ellos:

   La inversión diagonal que se operó es la responsable de cada una de estas diferencias entre δ y los combos asociados a postres, como antes lo fue la definición de δ, que tuvo el mismo efecto. La definición de δ y el combo generado por la inversión de la diagonal identifican a uno de los 2ⁿ–n combos no asociados a ninguno de los n postres del menú (en la lista confeccionada, el combo 6).

   Los servicios de persuasión del método diagonal y la construcción de δ son excesivos para el argumento “2ⁿ > n” cuando n es igual a 3, como en nuestro ejemplo, o a cualquier otro número natural; pero dejan de serlo cuando n es ℵ_o. En todo caso, el mismo argumento que con cardinales finitos apuntala una obviedad que nunca se aflojó, con cardinales transfinitos revela un hecho que aún suele provocar perplejidad: hay un infinito mayor que otro (lo que a su vez implica que el «infinito» que nos es más familiar, el de los números naturales, es una medida más, y no la ausencia de toda medida).
   Si bien este hecho ya fue demostrado con la reducción al absurdo, no estará de más volver a hacerlo llevando a cabo una mera extensión de la demostración que acabamos de desarrollar en la sobreactuada justificación de que el número de combos es mayor que el del trío de postres. Consiste en aplicar el método diagonal al conjunto potencia —P(N)— del conjunto N de los números naturales, como para no andar suponiendo un conjunto infinito de postres. En lugar de “t”, “h” y “f”, tendremos los elementos “1”, “2”, “3”, “4”, ad infinitum.

4. La lista de Gadner y la diagonal de Cantor

   Una fila perpetuamente gris será el subconjunto vacío. Una de las dos filas con tarjetas de colores alternos representará el subconjunto de los naturales pares; la otra, el de los impares. Los subconjuntos unitarios (como {7}, {1.410} ó {2.612}) tendrán una sola tarjeta blanca y todas las demás, grises.
   Otros divulgadores usan «SÍ» y «NO» en vez de las tarjetas blancas y grises que usa Martin Gardner (cf. Gardner, 1966); a él le cedo la palabra (la traducción me pertenece):

«¿Pueden los subconjuntos de este conjunto infinito ponerse en correspondencia uno a uno con los enteros cardinales? Supóngase que pueden. Simbolícese cada subconjunto con una hilera de tarjetas, como antes, sólo que ahora cada hilera continúa interminablemente hacia la derecha. Imagínese estas hileras infinitas listadas en un orden cualquiera y numeradas 1, 2, 3,... de arriba abajo.

Si continuamos formando tales hileras, ¿comprenderá eventualmente la lista a todos los subconjuntos? No, porque hay un número infinito de modos de producir un subconjunto que no pueda estar en la lista. El modo más simple consiste en considerar el conjunto diagonal de tarjetas indicado por la flecha y suponer entonces que se da vuelta cada tarjeta a lo largo de esta diagonal (es decir, todas las tarjetas que están boca abajo se ponen boca arriba, todas las tarjetas que están boca arriba se ponen boca abajo). El nuevo conjunto diagonal no puede ser el primer subconjunto porque su primera tarjeta difiere de la primera tarjeta del subconjunto 1. No puede ser el segundo subconjunto porque su segunda tarjeta difiere de la segunda tarjeta del subconjunto 2. En general, no puede ser el n‑ésimo subconjunto porque su n‑ésima tarjeta difiere de la n‑ésima tarjeta del subconjunto n. Dado que hemos producido un subconjunto que no puede estar en la lista, aun cuando la lista es infinita, nos vemos forzados a concluir que la suposición original es falsa. [...] Esta prueba muestra que semejante conjunto no puede corresponder uno a uno con los enteros cardinales.»

   En resumen, los números “1, 2, 3, 4,...”, siendo infinitos, no alcanzan para numerar a todos los subconjuntos de N: el método diagonal demuestra la existencia de al menos 1 subconjunto que no está en la lista. Y de nada serviría hacer una nueva incorporando al subconjunto que resultó de la inversión diagonal, ya que una nueva aplicación del método volvería a arrojar (a identificar) un subconjunto no numerado.
   En razón de esa insuficiencia de naturales, se dice que el conjunto de los subconjuntos de N (el conjunto potencia de N) es un conjunto infinito no numerable; luego, su infinitud es mayor.

4.1 Lista de subconjuntos que no están en la lista de Gardner.

   Sabíamos que si N medía ℵ_o, P(N) medía 2^ℵ_o. Lo que no sabíamos, y Cantor demostró con la diagonal, es que la segunda medida es mayor que la primera. Conjeturó también (no lo demostró; el problema sigue abierto) que es inmediatamente mayor, que es el entero transfinito que sigue al entero transfinito ℵ_o en orden de magnitud creciente, que 2^ℵ_o = ℵ₁. Es la Hipótesis del Continuo (en referencia a una recta, que tiene tantos puntos como números reales hay entre 0 y 1 ─y, por extensión, en total─ y como subconjuntos tiene N, como también probó Cantor).
   Pero por ahora no me interesa ir por ahí. Quedémonos en que se ha demostrado que 2^ℵ_o > ℵ_o y P(N) > N, no importa si mediata o inmediatamente. Hay una lista infinita de subconjuntos de N (selecciones de números naturales) y Cantor nos ha mostrado 1 subconjunto que no está en la lista.
   Sigamos por acá: ¿cuántos subconjuntos de N no están en la lista? Sabemos que en total, entre listados (ℵ_o) y no listados, hay 2^ℵ_o subconjuntos de N. Tenemos el resultado; veamos la cuenta. La pregunta es cómo se compone ese total. Antes de intentar responderla, recordemos estas ecuaciones de la artimética transfinita (con n finito):

ⁿ

Se han invertido las tarjetas de 1 diagonal para generar 1 subconjunto que no está numerado con algún entero positivo, de los que hay ℵ_o. Si ese subconjunto fuese el único que no está en la lista de los subconjuntos numerados, el total de subconjuntos, entre numerados y no numerados, sería ℵ_o + 1 = ℵ_o. Descartamos, entonces, que el subconjunto obtenido por la inversión de la diagonal sea el único que falte numerar. ¿Cuántos faltan, entonces?

En rigor, podríamos trazar e invertir tantas diagonales como elementos tenemos para incluir o no en un subconjunto. Todas las diagonales nacerían de la primera hilera de tarjetas, como lo hace la diagonal ya trazada; la segunda diagonal partiría de la tarjeta que indica la ausencia o presencia del elemento “2” en el primer subconjunto; la tercera diagonal partiría de la tercera tarjeta y, en general, la enésima diagonal lo haría de la enésima tarjeta del primer subconjunto de la lista.

Así, podemos generar con este método ℵ_o subconjuntos no numerados, ausentes en la lista de Gardner. Con ellos podemos hacer otra lista, cuyo primer subconjunto será el construido por la primera diagonal; el segundo, por la segunda; etc. Las tarjetas que faltan para completar los subconjuntos a partir del segundo de la lista son indiferentes; bien podría convenirse que fueran todas blancas o todas grises. Lo que importa es que cada uno de los subconjuntos de esta nueva lista diferirá necesariamente en al menos un elemento de cada uno de los subconjuntos de la lista de Gardner.

   Notemos que si ahora trazásemos una diagonal desde el vértice superior izquierdo de esta lista y diésemos vuelta sus tarjetas, obtendríamos el primer subconjunto numerado de la lista de Gardner; del mismo modo, el segundo subconjunto numerado sería idéntico —desde la segunda posición— al construido aquí por la segunda diagonal invertida, y así con el resto.
   Si se exige que los subconjuntos construidos desde la segunda diagonal de esta lista sean explícitamente idénticos, en todas sus posiciones, a los subconjuntos del arreglo original, bastará con trazar en éste diagonales dobles o compuestas. Desde la segunda, una diagonal con orientación SO-NE se continuará en otra con orientación NO-SE.
   Si existe, la otra diagonal simple del cuadrado —la primera es la diagonal de Cantor— se traza en el infinito y cruza el arreglo de SO a NE. ¿Y se cruza con la de Cantor, que viene de NO a SE? Sí, pero en el infinito, como las paralelas. Es la X más problemática del mundo mundial.

La nueva lista de subconjuntos ausentes ya no exhibirá lugares vacíos ni necesitará una convención especial para su relleno; se verá así:

4.2 Subconjuntos que no están en la lista de subconjuntos que no están en la lista de Gardner (o 'Hay ausencias más infinitas que otras')

Si sobre esta lista trazásemos ahora las diagonales dobles que hicimos en la primera, no obtendríamos una tercera lista de subconjuntos de N, sino de nuevo la primera. Un dispositivo es el inverso del otro respecto de este método diagonal; en ambos, por lo tanto, hay igual cantidad de hileras de tarjetas (o miembros del conjunto P(N), o sea, subconjuntos de N): ℵ_o hileras. Y el mismo número de hileras habrá en la unión de las dos listas: si a la primera la llamamos A y a la segunda B, los subconjuntos listados de ambas pueden ser puestos en una correspondencia biunívoca con los números naturales (o distribuidos en una progresión, si consideramos solamente la fila inferior y recordamos que no hay progresión que no sea contable, o sea, que no mida ℵ_o):

   Así, si los subconjuntos de la lista B fuesen todos los que no están en la lista originaria, el total de subconjuntos de N, entre numerados y no numerados, no sería 2^ℵ_o, sino ℵ_o, ya que ℵ_o + ℵ_o = ℵ_o. Debe haber, en consecuencia, 2^ℵ_o subconjuntos no incluidos en el dispositivo infinito de Gardner.
   Una vez establecido esto, el mismo argumento se puede volver a utilizar para probar que también hay 2^ℵ_o subconjuntos fuera de la lista B además de la A: siendo que hay ℵ_o subconjuntos generados por diagonales, si hubiera ℵ_o subconjuntos no generables por el método diagonal, no habría 2^ℵ_o subconjuntos ausentes de la lista A, sino otra vez ℵ_o + ℵ_o = ℵ_o; y si este fuera el caso, nuevamente nos encontraríamos con que el total de subconjuntos de N, entre ausentes (ℵ_o) y presentes (ℵ_o), no sería 2^ℵ_o, sino ℵ_o.
   Resumiendo: hay 2^ℵ_o subconjuntos que no están en la lista de Gardner, que tiene ℵ_o subconjuntos numerados. De ese total ausente, una parte es numerable (hay ℵ_o subconjuntos que podemos construir con el método diagonal: los de la lista B) y otra es no numerable (hay 2^ℵ_o subconjuntos que no podemos construir con el método diagonal: ausentes de la lista B además de la A). La fórmula que expresa esto puede escribirse así:
ℵ_o + (ℵ_o + 2^ℵ_o) = ℵ_o + 2^ℵ_o = 2^ℵ_o.
   Recordemos que un conjunto es infinito si puede ponerse en relación 1 a 1 con un subconjunto propio. Así como N y su subconjunto de los naturales impares son equipotentes (ambos tienen ℵ_o miembros), también lo son P(N) y una parte suya (por ejemplo, aquella cuyos miembros son los 2^ℵ_o subconjuntos de N que no están en la lista de Gardner). Como se espera de una definición, la de conjunto infinito abarca la infinita jerarquía de tamaños infinitos.
   Recordemos también que un conjunto es menor que otro si no puede ponerse en relación 1 a 1 con él y sí con alguno de sus subconjuntos propios. El doble requisito se cumple: N no puede ponerse en correspondencia 1 a 1 con P(N), pero sí con una parte de P(N) (aquella cuyos miembros son los ℵ_o subconjuntos de N que hay en la lista de Gardner, por ejemplo).

5. Otros conjuntos infinitos no numerables

   ¿Qué otros conjuntos infinitos son no numerables? Hagamos una cuenta como la de recién, pero con otros tipos de subconjuntos. Por ejemplo, hay subconjuntos finitos (los unitarios, los dúos, los tríos, etc.) e infinitos (el de los pares, el de los impares, el de los cuadrados, el de todos menos el 1, el de todos menos el 2, etc.).
   En el Capítulo 1 está la demostración de que hay ℵ_oⁿ = ℵ_o selecciones finitas de enteros. Multiplicar ℵ_o por sí mismo una cantidad finita de veces no lo hace más grande. ¿Y una cantidad infinita de veces? O sea, ¿cuántas selecciones infinitas (cada una de ℵ_o enteros) se pueden hacer? Si generar todos los subconjuntos de 2 enteros es multiplicar por sí mismo 2 veces ℵ_o (ℵ_o × ℵ_o = ℵ_o²), generar todos los subconjuntos de ℵ_o enteros es multiplicarlo por sí mismo ℵ_o veces:
ℵ_o × ℵ_o × ℵ_o × ℵ_o × ... = ℵ_o^ℵ_o.
   ¿A qué es igual esta potenciación? Si fuese igual a ℵ_o, el total de subconjuntos de N —miembros de P(N)—, entre finitos e infinitos, no sería 2^ℵ_o, como debe ser, sino ℵ_o (finitos) + ℵ_o (infinitos) = ℵ_o subconjuntos. Entonces: habiendo ℵ_o subconjuntos finitos, debe haber 2^ℵ_o subconjuntos infinitos de N: ℵ_o + 2^ℵ_o = 2^ℵ_o (♫ ...y todas las cuentas me salieron bien ♫). Y de paso nos enteramos que ℵ_o^ℵ_o = 2^ℵ_o.

   Otro ejemplo. Sabemos que hay ℵ_o números naturales; ℵ_o enteros (positivos y negativos); ℵ_o fraccionarios; luego, ℵ_o racionales (enteros + fraccionarios). Los números racionales más los irracionales son los números reales. Cantor demostró que hay 2^ℵ_o reales; luego, repetimos el razonamiento y la cuenta: si habiendo ℵ_o racionales hubiera ℵ_o irracionales, los reales no serían 2^ℵ_o, sino ℵ_o. Y más específicamente, hay un subconjunto de ℵ_o irracionales (los irracionales algebraicos, como √2) y otro de 2^ℵ_o (los irracionales trascendentes, como π), que sumados a los ℵ_o racionales dan 2^ℵ_o reales.