el infinito L
1. Contar y comparar: 1 a 1 (correlación) ó 1 × 1 (sustitución)
Lo primero que haríamos si quisiéramos saber si hay la misma cantidad, por ejemplo, de almohadones que de sillas, sería contar cada grupo y comparar el resultado; si hay 14 de ambos, hay la misma cantidad y Perogrullo se retira feliz.
Pero imaginemos que nos piden averiguarlo sin contar. No vale comparar números. ¿Cómo hacemos? La única manera que se me ocurre es tratando de emparejar los dos grupos: a cada silla le ponemos encima un almohadón y si al final no nos faltan ni nos sobran almohadones, es que hay la misma cantidad (aunque no sepamos cuál).
La relación uno a uno (o correlación o coordinación) entre los miembros de dos conjuntos es garantía suficiente de que el número de ambos es el mismo. Otra garantía equivalente la da la sustitución de cada miembro de un conjunto por uno del otro conjunto; esto hace que cambie la conformación del conjunto que sufre la sustitución de sus miembros, pero no su tamaño (entendido como el número de sus elementos, o sea, su cardinalidad).
Si procedemos a sustituir cada silla de una sala por un almohadón, sin que sobre ni falte ninguna, habremos cambiado la identidad del conjunto original (ahora compuesto por almohadones en vez de sillas), pero su tamaño, gracias a la exactitud del reemplazo, sigue siendo el mismo: hay ahora tantos almohadones como sillas había antes.
Si los miembros de uno de los dos conjuntos correlacionados —o del conjunto que aporta los sustitutos— son los números de la serie natural (1, 2, 3, 4,...), además de la igualdad de tamaño entre ellos estaremos conociendo cuál es el número de esa igualdad. De hecho, eso es contar.
Por ejemplo: si la última silla relevada fue correlacionada con (o sustituida por) el número 7, tal será la cantidad total de sillas que hay en la sala; si se me perdona la obviedad, esta información no la da la correlación de sillas con (o su sustitución por) almohadones, ni ninguna otra cosa que no sean números cardinales.
1.1 Correlación entre infinitos miembros
Para contar los números pares que hay del 1 al 7 procedo igual que para contar las sillas que hay en la sala: correlaciono uno a uno los pares (sin necesidad de tenerlos ordenados: da igual {2, 4, 6} que {4, 2, 6}, {6, 2, 4}, etc.) con los números naturales, convocados según su orden de magnitud; el mayor número natural utilizado en la correspondencia (el 3, en nuestro ejemplo) nos informa cuál es el tamaño del conjunto examinado. (Por supuesto, el resultado no varía si en vez del método de la correlación aplicamos el de la sustitución, con el 1 en vez del 2, el 2 en vez del 4 y el 3 en vez del 6.)
El procedimiento es el mismo para contar no ya una parte de los números pares, sino su totalidad. En una fila alistamos los pares y en otra, conectada término a término con ella, los naturales.
La manera en que se ordenan los miembros que serán contados no ha dejado de ser esencialmente indistinta; pero se ha vuelto conveniente adoptar una de ellas.
Si dispusiéramos de todos los pares al mismo tiempo, como disponíamos de los que hay del 1 al 7, podríamos armar la secuencia a nuestro antojo. Como ese no es el caso con una totalidad infinita, conviene ordenarlos de modo que en ningún paso de la secuencia nos quede algún par pendiente de algún paso anterior.
Se trata, en definitiva, de mantener en cada paso el mínimo de elementos pendientes por listar. Ese mínimo (no obstante infinito) se obtiene haciendo que todos los pares pendientes estén en los pasos pendientes de la secuencia, nunca en uno anterior. Un orden que garantiza esto es el de sus magnitudes, de menor a mayor.
Las correspondencias entre números pares y naturales se mantienen constantes a lo largo de las sucesiones paralelas de unos y otros, que no tienen fin; luego, hay tantos pares como naturales.
Si el razonamiento resultó algo seco o expeditivo, acompañémoslo de la siguiente ilustración. Imaginemos que tenemos un mazo infinito de cartas; en la cara interna de cada carta hay un número natural; en la externa, su duplo.
Nadie extraña las flechas: no hay correlación 1 a 1 más autoevidente que la dada entre el anverso y el reverso de una carta (o los dos lados de una moneda).
Quien sostiene en abanico ese mazo exorbitante ve la sucesión de los números naturales; quien lo enfrenta, la sucesión de los pares. Como los dos están mirando las mismas cartas, cabe concluir que hay tantos pares como naturales.*
El resultado es contraintuitivo; pensamos que, siendo la mitad del total, debería haber menos pares que naturales, como pasa con totalidades finitas (las únicas con las que tenemos trato, en la práctica). Y si lo generalizamos al universo físico, nunca una parte es tan grande como el todo (una mano puede ser tan grande —Zeus no lo quiera— como el resto del cuerpo, pero nunca tan grande como todo el cuerpo, o sea, como la suma de mano y resto). El acorde de lo físico y lo aritmético refuerza el rechazo; parece una prohibición a dúo.
Pero la igualdad cardinal entre dos conjuntos, también conocida como equipotencia, es algo bien definido y sólo pide una biyección: tienen el mismo número cardinal si cada miembro de un conjunto puede correlacionarse con uno (y sólo uno) del otro. Intuición que tambalee con este dato, que cambie o que no se aventure fuera de su dominio finitista. Para eso, nada mejor que empezar a tener trato con las totalidades infinitas, que no son absurdos ni quimeras.
En cuanto a las dos que estábamos comparando, que los pares sean una mitad de los naturales no quiere decir que haya la mitad de pares que de naturales; hay exactamente los mismos, porque se pueden poner en relación 1 a 1. Datos, no opinión.
1.2 Sustitución de infinitos miembros
Para que el método de la sustitución no resulte una repetición superflua de la correlación, ensayémoslo con una variante.* Consideremos primero la sustitución de cada número par por el resultado de sumarle 0,5. En lugar del conjunto de los pares, obtenemos este:
Pero si realizamos la sustitución mediante una operación tal que el conjunto resultante sea el de los números naturales, no sólo estaremos estableciendo que el cardinal del conjunto reemplazado es el mismo que el del conjunto reemplazante, sino también identificándolo. La operación es sencilla: a cada número par lo sustituimos por el resultado de dividirlo por 2. En lugar del 2 original tendremos ahora el 1; en lugar del 4, el 2; en lugar del 6, el 3; etc. Como en lugar de todos los pares tendremos todos los naturales, el número de una y otra totalidad es el mismo.
2. ℵo
Ahora bien: ¿cuál es ese número? Contestar que es infinito no es indicar cuál es (“infinito” no es un número), sino cómo es, qué propiedad tiene, como cuando decimos que el número de patas de un cuadrúpedo es finito (propiedad que en rigor no tiene el número sino traslaticiamente, ya que le atañe al conjunto de cuyo tamaño da noticia el número). Con el mismo derecho y con la misma exactitud con que ese número es 4, existe un número cardinal que mide el tamaño infinito de la regla que usamos para medir; presentémoslo.
La cuenta de los pares que hay del 1 al 7 no le exige al conjunto de los números naturales su totalidad; la cuenta de todos los pares, sí. Dicho de otro modo, la representación de la cardinalidad de ese conjunto infinito le excede a cualquiera de los cardinales finitos; debe ser asumida por el cardinal que venga inmediatamente después de todos ellos, es decir, por un cardinal transfinito.
El cardinal transfinito que expresa el tamaño del conjunto de los números naturales es el número ℵo (la letra hebrea alef con un cero como subíndice; la notación se la debemos a Georg Cantor, que a fines del siglo XIX fundó la teoría de los números cardinales y ordinales transfinitos, tema de este tríptico de ensayos). Por lo tanto, cualquier conjunto que pueda corresponderse 1 a 1 con el de los números naturales tendrá ℵo miembros.
2.1 ℵo como total, ω como límite
En breve hablaremos de la circunstancia cardinal de expresar el tamaño del conjunto de los números naturales. En cuanto a la circunstancia ordinal de venir después de una sucesión infinita de términos, observemos que es común a otros límites matemáticos. Por ejemplo, los resultados parciales de la suma infinita «10 + 1 + 1/10 + 1/100 +...» se acercan cuanto se quiera al valor «12»; asimismo, la serie decreciente «1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...» se dirige hacia el valor «0».
Por la necesidad de completar aquella suma, Aquiles —dirá Zenón— no podrá alcanzar ninguna meta (ni una fija ni una fugitiva, como es la tortuga que le hacen perseguir). Por la necesidad de visitar las infinitas postas de esa serie regresiva antes de dar un paso, Aquiles —arremete otra vez Zenón— no podrá moverse de la largada.
Pero lo que me interesa ahora no es la interpretación de las aporías de Zenón sobre el movimiento, sino la constatación de que
esta serie menguante y aquella suma de parsimonioso crecimiento son convergentes, es decir, se aproximan indefinidamente a un valor límite situado fuera de ellas (en particular, no hay que confundirlo con el último de sus términos, que por definición no existe en una sucesión infinita).
En el dominio de los valores finitos, esa convergencia le es desconocida, por ejemplo, a una serie infinita como la de los números pares, de la cual se dice entonces que es divergente: la sucesión «2, 4, 6, 8, 10, ...» no tiende a ningún número finito que la comprenda; lo suyo es crecer sin apuntar a ningún valor del mismo dominio.
Pero el dominio mismo donde esta distinción es funcional («1, 2, 3, 4,...») está limitado por el valor ℵo como la serie infinita progresiva «1/2, 3/4, 7/8, 15/16,...» está limitada por el valor 1 o la serie infinita regresiva «1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...» está limitada por el valor 0.
Su singular trascendencia le permite al valor ℵo no guardar proporción aritmética alguna con los valores de la serie que delimita. Réstesele a ℵo las cifras 7, 38.124 ó 141.075.261.299 y se obtendrá un inconmovible ℵo.
En cambio, réstesele 0,875 (= 1/2 + 1/4 + 1/8) a 1 y se obtendrá una diferencia menor —0,125— que la que resulta de restarle 0,75 (= 1/2 + 1/4), que es 0,25. Mientras la primera suma parcial se aproxima a 1 mejor que la segunda, el valor de ningún número natural se aproxima mejor que el de otro al valor de ℵo. Esta equidistancia cuantitativa distingue a ℵo de otros límites. Bertrand Russell (1919, p. 89) escribe:
«El número cardinal ℵo es el límite (en el orden de magnitud) de los números cardinales 1, 2, 3,... n,..., a pesar de que la diferencia numérica entre ℵo y un cardinal finito es constante e infinita; en efecto, desde un punto de vista cuantitativo, los números finitos no se aproximan a ℵo a medida que van creciendo. ℵo es el límite de los números finitos por el hecho de que, en la serie, ocupa el lugar inmediatamente posterior a ellos, lo que es una circunstancia ordinal y no cuantitativa.»
Si un límite puede no ser el valor al que se aproxima una serie, es porque la aproximación no es el rasgo definitorio de todos los límites, sino sólo el de una clase (precisamente, la de aquellos límites que lo son de series convergentes). Lo definitorio de cualquier límite aritmético es la «circunstancia ordinal» de ocupar el lugar inmediatamente posterior a un conjunto infinito de términos. Hablando del ordinal ω en vez del cardinal ℵo, Cantor se refiere a esto mismo en una memoria de 1883:*
«...podemos representarnos el número ω como el límite hacia el cual tienden los números ν, a condición de entender con ello que ω será el primer número entero que seguirá a todos los números ν, de manera que haya que declararlo superior a todos los números ν.»
Una equidistancia cuantitativa diferencia unos límites de otros; una equidistancia ordinal los iguala. En toda serie infinita, convergente o no, cualquier término se encuentra a una infinidad de pasos del límite. Por lo tanto, con o sin aproximación a su valor, el límite de toda sucesión infinita carece de antecesor inmediato, en razón de su infinitud. Pasa con «12», «0» y «1», ya que no hay una última fracción después de la cual vengan ellos; pasa con el entero transfinito ℵo, ya que no hay un último entero finito que lo preceda.
O, si se prefiere, el antecesor inmediato de ℵo, no siendo ninguno de los enteros finitos, es la totalidad que conforman, cuya cardinalidad expresa el propio ℵo. Pero lo mejor es dejar para el Capítulo 3 las series y los límites, que son asuntos ordinales. Volvamos a las pruebas de equipotencia entre conjuntos infinitos.
3. El Hotel de Hilbert
Los más famosos argumentos de equipotencia entre conjuntos infinitos se deben al matemático David Hilbert.
Imaginemos un hotel con infinitas habitaciones, alineadas en una hilera interminable y cada una de ellas rotulada con un número natural en su puerta. La temporada es buena: todas las habitaciones están ocupadas. El dato no disuade a un turista recién llegado, avezado en aritmética transfinita, que le enseña al conserje cómo hospedarlo: al ocupante de la habitación 1 se le pide que se traslade a la habitación 2; al de la 2, que se traslade a la habitación 3; al de la n, a la habitación n+1. No habiendo una última habitación, ninguno de los ℵo huéspedes originales se queda sin la suya. El desplazamiento deja libre la habitación 1, que pasa a ocupar el nuevo turista.
La proeza se difunde y llegan al hotel 4 nuevos clientes. El conserje aprendió la lección: esta vez al huésped de la habitación 1 lo muda a la habitación 5; al de la 2, a la habitación 6; al de la n, a la habitación n+4. De este modo logra desocupar las 4 primeras habitaciones. Generalizando, si el contingente a acomodar es de n turistas (donde n es cualquier número natural), mudar al huésped de la habitación k a la habitación k+n hará que queden disponibles las primeras n habitaciones.
Tomemos nota de las ecuaciones iniciales de la aritmética transfinita. Con una habitación menos, su total sigue siendo el mismo que el de huéspedes; así, ℵo – 1 = ℵo. Con un huésped más, sigue habiendo tantos como habitaciones; así, ℵo + 1 = ℵo. Lo mismo se puede decir para 4 habitaciones menos y 4 huéspedes más. Y en general, ℵo – n = ℵo y ℵo + n = ℵo (donde n es un número natural).
Pasemos en limpio también las equipotencias encontradas. El conjunto de los números naturales es coordinable con dos de sus partes infinitas (que son dos de las infinitas que hay): la que consiste en todos ellos menos el primero: {2, 3, 4, 5,...}; y la que consiste en todos ellos menos los cuatro primeros: {5, 6, 7, 8,...}. En las correlaciones de rigor, la fila superior representa a los huéspedes originales del hotel; la fila inferior representa las habitaciones que les toca ocupar con las mudanzas.
El conserje ya sabe cómo albergar en su hotel completo a cualquier número finito de nuevos interesados. Pero un día recibe la visita de un contingente infinito de turistas. El hombre no se deja intimidar por la cantidad y pronto da con la mejor manera de resolver el problema: le pide al ocupante de la habitación 1 que se mude a la habitación 2; el de la 2 se cambia a la habitación 4; el de la 3, a la 6; el de la 4, a la 8; el de la n, a la habitación 2n. Así, en un solo acto de mudanzas múltiples, todas las habitaciones impares quedan libres y en ellas se ubican los nuevos huéspedes: el primero es alojado en la habitación 1; el segundo, en la 3; el tercero, en la 5; el n-ésimo, en la habitación 2n – 1.
Como se ve, esta vez se han correlacionado todos los números naturales (impresos en las remeras de los nuevos turistas) con los números naturales impares (impresos en las puertas de una de cada dos habitaciones). El ingreso de ℵo personas en el hotel no alteró el número de su población original, que siguió siendo ℵo, ya que ninguno se quedó sin su lugar; luego, ℵo + ℵo = ℵo × 2 = ℵo. Por lo demás, aun con ℵo habitaciones desocupadas todavía había en el hotel ℵo ocupadas; en este caso, por lo tanto, ℵo – ℵo = ℵo.
En otros casos, el resultado de esa resta puede ser muy diferente. Escribe Bertrand Russell en su Introducción a la filosofía matemática (Cap. 8 “Números cardinales infinitos”; Paidós, Barcelona, 1988, pp. 80 y 81.):
«Aunque siempre es posible la adición y la multiplicación de cardinales infinitos, la sustracción y la división ya no dan resultados definidos y, por tanto, no pueden utilizarse como se usan en la aritmética elemental. Para empezar, examinemos la sustracción. Mientras que el número a sustraer sea finito no habrá problemas; si el otro número es reflexivo [léase transfinito], aquél permanecerá invariable. Luego, ℵo – n = ℵo, si n es finito; en estas condiciones, la sustracción ofrece un resultado perfectamente definido. Pero no ocurre otro tanto si se resta ℵo de sí mismo; entonces cualquier resultado es posible, desde 0 hasta ℵo. Algunos ejemplos permitirán apreciarlo fácilmente. Sepárense de los números inductivos [léase naturales] las siguientes colecciones de ℵo términos: 1) Todos los números inductivos; el resto será 0. 2) Todos los números inductivos a partir de n; el resto serán los números desde 0 hasta n – 1, con un total de n términos. 3) Todos los números impares; el resto serán todos los números pares, con un total de ℵo términos. (...) En cuanto a la división, el hecho de que ℵo permanezca invariable al multiplicarlo por 2 o por 3 o por cualquier número finito n o por ℵo tiene consecuencias muy parecidas. De ello se desprende que ℵo dividido por ℵo puede tener cualquier valor, desde 1 hasta ℵo. Debido a la ambigüedad de la sustracción y la división, los números negativos y las fracciones no pueden aplicarse a los números infinitos.»
3.1 La cadena de hoteles de Hilbert
Supongamos ahora que estos éxitos le permitieron al dueño montar una cadena infinita de hoteles infinitos. El hombre no pecó de optimista: nuevamente, las habitaciones de todos sus hoteles están ocupadas. Representémonos su prosperidad:
Infinitos hoteles de infinitas habitaciones dibujan un cuadrado infinito (que es el cuadrado de infinito: ℵo × ℵo = ℵo2). El dueño hace cuentas y un día resuelve cerrar todos los hoteles menos uno, donde deberá ubicar no sólo a los turistas que ya estaban en él, sino también a los que llenaban los otros hoteles de la cadena. En definitiva, se trata de hacer de un número infinito de progresiones infinitas (una por cada hotel) una sola progresión infinita.
Cada uno de los turistas de la cadena ocupa un lugar en la red, que puede ser identificado unívocamente con un par ordenado de números naturales (el primero corresponde al hotel, el segundo a la habitación del hotel). Así, por ejemplo, el que se hospeda en la habitación 4 del hotel 2 se identifica con el par ordenado “2, 4” (análogamente, en un edificio el “18/10” identifica al departamento 10 del piso 18).
De hecho, en lugar del esquema de una cadena infinita de hoteles podemos ver ahí el tablero del portero eléctrico de un edificio de infinitos pisos, cada uno de los cuales tiene infinitos departamentos. El portero eléctrico, que es un «mapa» del edificio, no puede ser menor que el edificio, en cuya entrada se encuentra. El edificio se refleja en el portero eléctrico como el territorio de Inglaterra en el mapa de Inglaterra de Royce y el conjunto de los números naturales en el conjunto de los pares.
Se le pide entonces a cada turista que antes de abandonar su habitación y esperar afuera del hotel sume los números del par que lo identifica.
Los hoteles han quedado vacíos; se los cierra a todos menos uno y en él se acomodan a los turistas de la cadena del siguiente modo. A la habitación 1 irá el turista que haya obtenido la menor cifra con la suma de su par ordenado; se trata del ocupante original de la habitación 1 del hotel 1, que allí regresa (supongamos que el hotel que quedó abierto sea el que encabezaba la lista). Hay dos turistas cuyos enteros suman 3: los que tienen los pares ordenados “1, 2” y “2, 1”. De las dos habitaciones que les corresponden, convenimos en asignarle la de número menor al turista que en su par ordenado tiene el número menor de hotel. Para el huésped “1, 2” ir a la habitación 2 es también un regreso (el último posible); la habitación 3 la ocupa el “2, 1”. La 4 la ocupa el turista que tenga el menor número de hotel entre todos aquellos cuyos pares ordenados suman 4, de los que hay tres: “1, 3”, “2, 2” y “3, 1”. Al segundo de éstos le toca la habitación 5 y al tercero, la 6. Con el mismo criterio, las habitaciones 7 a 10 les corresponden, de menor a mayor número de hotel original, a los que suman 5: “1, 4”, “2, 3”, “3, 2” y “4, 1”.
En resumen, la suma de los enteros de cada par ordenado da el primer criterio de orden en la progresión; el segundo lo da, en el desempate de los resultados idénticos, el orden de magnitud ascendente de los primeros números de cada par. La progresión traza un zig-zag en el cuadrado infinito, cuyos nodos son barridos uno a uno.*
3.2 ℵo fracciones y ℵo enteros positivos y negativos
Dado que toda fracción positiva puede escribirse como un par de enteros positivos, el caso de la cadena reducida a uno solo de sus hoteles ilustra la igualdad de miembros entre el conjunto de los números naturales y el de los números fraccionarios positivos.
Si la elaboración de una única progresión, donde están contenidos los términos de todas y cada una de las infinitas progresiones que son los hoteles de la cadena, no resultó suficientemente persuasiva, retomemos el procedimiento de correlacionar uno a uno los números naturales (las habitaciones del hotel que quedó abierto) y las fracciones (los pares ordenados que identifican a los turistas de la cadena hotelera).
De hecho, podríamos sustituir cada par ordenado por el número natural con el que se lo ha coordinado, que pasaría a ser la nueva identificación del turista a ubicar. Una vez hecho esto, se le pide al turista 1 que vaya a la habitación 1 del hotel que quedó abierto, al turista 2 que vaya a la habitación 2 y, en general, al turista n que vaya a la habitación n. Sustituye y simplificarás.
La fila inferior de la correspondencia exhibe una progresión de pares de números (los enteros que entran en razón en cada fracción). Otra progresión de pares demuestra que hay tantos enteros positivos y negativos como naturales:
Y si bien se la mira, la serie estándar de los números naturales usada en las correlaciones es también una progresión de pares, ya que en ella se alternan los números impares y pares, que forman dúos de magnitud creciente; en esta formulación, el conjunto de los números naturales se nos presenta así:
Si hacemos del número de cada hotel el numerador de una fracción y del número de cada habitación su denominador, obtenemos el conjunto de todas las fracciones positivas en el orden de los numeradores y denominadores ascendentes. La progresión sinuosa que las va numerando una a una es la misma que le dio su orden de ubicación a los turistas.
Uno de los bordes de la trama infinita, el vertical izquierdo, está formado por todas las fracciones positivas con denominador 1, con las cuales se corresponden los enteros positivos (de hecho, 1/1 se lee “un entero”; 2/1 se lee “dos enteros”; etc.). Como éstos pueden correlacionarse uno a uno con todas las fracciones (es decir, ℵo2 = ℵo), ellas son tantas como una infinitesimal parte suya: en la red infinita de fracciones hay tantos nudos como en uno solo de sus hilos.
El conjunto de los enteros positivos, equivalente al de las fracciones con denominador 1, es a su vez un subconjunto propio del conjunto de todos los enteros, positivos y negativos. Todos ellos junto con todas las fracciones, positivas y negativas, pueden alinearse en una progresión análoga a la de los números naturales (y, por lo tanto, tan vasta como ella). El principio de ordenamiento será el mismo que antes, pero esta vez omitiremos las fracciones equivalentes a enteros y las repeticiones (2/2 repite a 1/1, que a su vez equivale a 1), y a continuación de cada número positivo agregaremos su correspondiente negativo:
3.3 Una fila o una lista: la progresión, otra prueba de equipotencia
El principio de magnitudes crecientes que ordena a los números naturales en su presentación estándar difiere del que acabamos de aplicar para ordenar los números racionales (no otra cosa son los enteros y los quebrados juntos). Pero sus resultados no se diferencian: los dos principios generan por igual una serie discreta de términos que empieza en alguno y no termina en ninguno.
Vale decir: la forma de ambas progresiones, haciendo abstracción de la naturaleza de sus términos, es la misma:
La monotonía de signos que nada dicen de sí deja ver lo que estas progresiones son: una serie cuyos términos tienen todos su sucesor inmediato (o sea, una sucesión infinita de términos consecutivos con uno que es el primero). Todo conjunto cuyos miembros puedan ordenarse en una serie que tenga esta forma será numerable, lo que equivale a afirmar que su número cardinal será el del conjunto de los números naturales: ℵo (lo que no implica, como veremos en el Capítulo 3, que todo conjunto con ℵo miembros sólo pueda ordenarse de esa forma; de hecho, habrá infinitas formas en que pueda hacerlo).
A la correlación y a la sustitución como pruebas de equipotencia entre un conjunto cualquiera y el de los números naturales, se agrega entonces la elaboración de una progresión cuya estructura emule la de la serie natural. Y si en lugar de su aspecto de fila la progresión adopta el de una columna, hablamos de una lista. Luego, será numerable todo conjunto infinito cuyos miembros puedan ser listados (es decir, enumerados uno a uno).
Aunque aún no nos hayamos topado con un conjunto infinito no numerable (uno tan grande que no pueda ser contado con esa herramienta de medición que es la serie de los números naturales), ya podemos saber cómo deberíamos reconocerlo: no será numerable aquel conjunto cuyos miembros no puedan ser listados en su totalidad (bastará demostrar la existencia de uno que no pueda ser listado para probar que el conjunto no es numerable).
3.4 ℵo subconjuntos finitos de naturales
Además de interpretarlos como fracciones positivas, podemos interpretar las parejas de enteros ordenados que identifican a los ℵo turistas de la cadena hotelera como subconjuntos binarios del conjunto de los números naturales.
Es como si cada uno de los ℵo naturales hubiera formado dúo con cada uno de los ℵo naturales: ℵo × ℵo = ℵo2 = ℵo, que no serán menos si excluimos a los ℵo dúos que repiten elemento ({1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, etc.) y a los ℵo dúos que sólo difieren de otro por el orden de sus elementos ({1, 2} y {2, 1}; {1, 3} y {3, 1}; etc.).
Como 2 es un número finito, el conjunto B de los subconjuntos binarios de N (ℵo2) es una parte del conjunto F de los subconjuntos finitos de N (ℵon), que a su vez es una parte del conjunto P(N) de todos los subconjuntos de N, finitos e infinitos (2ℵo, cardinal transfinito que protagoniza el Capítulo 2).
Es obvio que si en vez de dedicarnos a demostrar que el conjunto T de los subconjuntos ternarios de N (ℵo3) es numerable, demostramos que lo es el conjunto F de los subconjuntos finitos de N, estaremos ganando tiempo: no sólo el 2 o el 3, sino también cualquier entero positivo podría ocupar el lugar de n en la fórmula ℵon = ℵo. Probar esta igualdad significa encontrar una progresión que garantice la enumeración de todas las selecciones finitas de los números naturales.
Raymond Smullyan ilustra el problema con una fábula diabólica.* Imaginemos que Satanás escribe en un papel un conjunto finito de números naturales, sin revelarnos cuántos, y cada día de eternidad infernal nos da una sola oportunidad para que adivinemos cuál es el conjunto escrito, con la promesa de liberarnos el día que acertemos.
La estrategia para alcanzar más tarde o más temprano el día del acierto consiste en ordenar los conjuntos de números en grupos que compartan el mismo número más alto. Cada uno de esos grupos consta de una cantidad finita de conjuntos de enteros, de acuerdo con la cual los grupos pueden ser ordenados de menor a mayor.
Así, el primer día nombramos el conjunto vacío (no sea cosa que el diablo no haya escrito ningún número). El segundo día, el único conjunto cuyo número más alto es 1, a saber: el conjunto unitario {1}. Luego, en el tercer y cuarto día, nombramos —no importa en qué orden— los dos conjuntos cuyo número más alto es 2: {1, 2} y {2}. Del quinto al octavo día nombramos los cuatro conjuntos cuyo número más alto es 3: {3}, {1, 3}, {2, 3} y {1, 2, 3}; etc.
Como se ve, para todo n existe un número finito de conjuntos de enteros positivos cuyo miembro más alto es n (en general, para cualquier entero positivo n hay 2n–1 conjuntos cuyo número más alto es n; continuando la secuencia de los grupos de conjuntos, hay 24–1 = 23 = 8 conjuntos de enteros cuyo entero más alto es 4; hay 25–1 = 24 = 16 conjuntos de enteros cuyo entero más alto es 5; etc.).
Obtenida una progresión análoga a la de la serie natural, queda probado que todos los conjuntos finitos de números naturales, distribuidos en grupos de 2n–1 conjuntos que tienen a n como su número más elevado, no son más que los ℵo días de la eternidad infernal que disponemos para nombrar el que escribió el diablo.
4. El giro cantoriano
Cada uno de los ℵo conjuntos finitos de números naturales es una particular selección de miembros del conjunto que conforman dichos números: cada uno es, por lo tanto, un subconjunto del conjunto de todos los naturales. Entre éstos, el único subconjunto de igual tamaño que el conjunto es el que selecciona la totalidad (finita) de sus elementos. Entre conjuntos infinitos, esa exclusividad se pierde: la parte puede ser infinita como el todo. Es más: esa posibilidad es lo que diferencia a un conjunto infinito, que la tiene, de uno finito, que no.
La extensión de los enteros positivos que hace Cantor vuelve ínfimo (hiperminoritario) lo que creíamos total y único, si de cardinalidades hablamos. Porque después de tantas equipotencias entre conjuntos infinitos nos toca ver cómo hurgando bien aparece un conjunto infinito mayor que el de los naturales (Capítulo 2) y hurgando mejor aparece una jerarquía infinita de alefs: ℵo, ℵ1, ℵ2, ... ℵω, ℵω+1, ℵω+2, ... (Capítulo 3). No hay sólo 1 talle infinito (la equipotencia perderá el invicto) y no hay sólo 2 talles infinitos, L y XL, sino infinitos.
Con semejante cantidad de sucesores, lo ínfimo de lo finito es infinitesimal, por así decir. Las posibilidades cardinales que creíamos universales, como que un subconjunto propio no puede medir igual que su conjunto, se revelan una excepción infinitesimal: sólo valen para 1 de las infinitas clases de números que forman «el paraíso que Cantor creó para nosotros», del que «nadie nos sacará jamás» (Hilbert dixit). En el resto de las clases numéricas, la norma (o el requisito) es que haya partes tan grandes como el todo. Cantor produjo un cambio radical en el sentido común y en el conocimiento de los tamaños y las estructuras. A Copérnico y a Darwin les gusta esto.
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