Tres tristes tríos

Las clases cardinales
En el capítulo 2 de su Introducción a la filosofía matemática, titulado “Definición de número”, Bertrand Russell, siguiendo a Frege, escribe:

“...es evidente que «número» es una forma de agrupar determinadas colecciones, concretamente las que tienen un número dado de términos. Podemos suponer que todas las parejas están agrupadas a un lado, todos los tríos en otro, etc. Así obtendremos varias agrupaciones o haces de colecciones, cada una integrada por todas las colecciones que tienen un número dado de términos. Cada agrupación es una clase cuyos miembros son colecciones, esto es, clases; luego, es una clase de clases. La agrupación de todas las parejas, por ejemplo, es una clase de clases: cada pareja es una clase de dos miembros y toda la agrupación de parejas es una clase con un número infinito de miembros, cada uno de los cuales es una clase de dos miembros.”

Seleccionemos estos dos datos: cuántos miembros tiene cada dúo y cuántos dúos hay. Hagamos lo mismo con las demás clases cardinales y observemos que esas cantidades, en principio, pueden ser iguales o diferentes (una mayor, otra menor). Si hacemos un barrido de las clases cardinales de menor a mayor, partimos de la mínima diferencia: el cero es una clase cardinal con 1 miembro (hay sólo 1 conjunto vacío), el cual tiene 0 miembros. En el segundo paso de la serie natural, la desigualdad se vuelve bruscamente abismal: frente a la modesta dotación de un conjunto unitario, el tamaño de la clase de todos ellos (la cual para Frege y Russell constituye lo que es el número 1) parece situarse en sus antípodas. Aunque imperceptible de tan lenta, a partir de ahí la desigualdad nos resultará cada vez menos evidente (acaso por la razón subjetiva de que nos resultaría más fácil mencionar grupos de tres o cinco cosas que grupos de 14.102.612 cosas).
Lejos de los comienzos, entre clases cardinales tan grandes que podamos creer cercanos el número de sus miembros y el de los miembros de cualquiera y cada uno de ellos, parecería más creíble que esa desigualdad se anulara primero y se invirtiera después. Llegue o no a ocurrir, me interesa prestarle atención a ese cruce de frontera, a ese tránsito de una desigualdad a la otra, a ese pasaje que en esta suposición viene a ser la igualdad. (Si pasara de una desigualdad a la otra sin pasar por la igualdad, la relación sería similar a la expresada por un número irracional, que se acerca a una igualdad infinitamente, en un viaje que siempre resta trecho o en dos viajes que convergen hacia ese equilibrio –uno desde el exceso y el otro desde la falta.)

La paradojísima trinidad
Imaginemos entonces una clase cardinal n con n miembros. Sabemos que ese no es el caso, por ejemplo, de la clase cardinal 3, que consta de una infinidad de tríos; pero para facilitar la exposición, convengamos que lo sea. De este modo, suponemos que no hay infinitos tríos, sino exactamente tres: el trío A, el trío B y el trío C. He aquí una igualdad entre la cantidad de elementos de cada clase y la cantidad de todas esas clases iguales en tamaño; una igualdad como la que creemos que sería verosímil encontrar en las “elevadas latitudes de la numeración”. Pero una interpretación de esta mera relación viene a denunciarla por tener implicaciones inconsistentes.
Si sólo hubiera 3 tríos, la clase cardinal 3 tendría 3 miembros, es decir, sería a su vez un trío, lo cual la haría miembro de sí misma (esta membresía es el sentido de esa categorización). Pero su ingreso elevaría el número de sus miembros de 3 a 4, lo que haría que dejase de ser un trío para pasar a ser un cuarteto, sin derecho a pertenecer a la clase de los tríos que es ella. Pero si no perteneciera a sí misma, entonces tendría tres miembros y sería un trío y debería pertenecer; y así siguiendo. En el mismo acto en que cumple con la obligación de inscribirse en el club, pierde el derecho a hacerlo; y viceversa: en el mismo acto en que egresa del club, contrae la obligación del ingreso. (Como puede apreciarse, la traba dilemática es similar a la del conjunto de Russell, que es el conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos.)

Por un lado, la paradoja tiene lugar independientemente de que compartamos o no la convicción de que esa clase de clases es lo que es un número; así, alcanza con que tenga sentido hablar, por ejemplo, de la clase de los tríos, sea o no eso la definición del número 3. Por otro lado, para que la paradoja de la clase cardinal n con n elementos tenga lugar, es relevante la clase de cosas a la que pertenecen los elementos del conjunto. Empecemos por este otro lado.
Que el conjunto de los glaciares sea o no un glaciar no lo afecta a él, sino a lo sumo a su cardinalidad: si pertenece a sí mismo, habrá un glaciar más en la lista; si no, no. Con uno u otro número, el conjunto de los glaciares se forma de todos modos. El número que tenga, como mucho, sólo puede ser distintivo, si sólo ese conjunto lo tiene (supongamos). Pero cuando la cardinalidad pasa de rasgo circunstancial a rasgo definitorio de un conjunto, la cosa cambia. El conjunto de todos los tríos, si es un trío, no puede terminar de hacerse (ni de deshacerse), zarandeado entre la obligación de pertenecer a sí mismo (es un trío) y la de no (porque si pertenece ya no es un trío, es un cuarteto).
Su caso parece mostrar que puede no ser suficiente para ser categorizado como un trío la propiedad de tener tres miembros; concretamente, no lo será en los casos de autopertenencia de una entidad abstracta y de la misma naturaleza que sus miembros constitutivos (como es el conjunto de conjuntos del mismo tamaño). Del segundo requisito acabamos de hablar; del primero, hablaremos a continuación. Luego veremos qué más es necesario para merecer la categorización, que el caso viene a mostrar.

Para que pueda reivindicarse la autopertenencia de un conjunto, es condición necesaria (aunque no suficiente) el que sus miembros sean entidades abstractas, como lo es ese –o cualquier otro– conjunto. No lo son los glaciares, cuyo conjunto no puede entonces aspirar a integrar la nómina de sus miembros. Sí lo son, por ejemplo, los conjuntos con más de 14 elementos, cuyo conjunto está en situación de reclamar ser uno de ellos (en tanto tiene más de 14 elementos, como que hay más de 14 conjuntos así). También lo son, por ejemplo, todos los dúos, pero el dato no alcanza para que su conjunto reivindique la autopertenencia: habiendo una infinidad de dúos, él no es uno de ellos.
También lo son, en esta imaginación, todos los tríos, cuyo conjunto sí puede reclamar la autopertenencia porque tiene tres miembros, por lo que él es, además del conjunto de los tríos, un trío del conjunto de los tríos (o sea, un miembro de sí mismo). Pero entonces, como ya se dijo, pasa a ser un cuarteto, integrado por el trío A, el trío B, el trío C y el trío A-B-C.

La membresía tardía
Toma 1

Si la autopertenencia del conjunto de los conjuntos con n miembros depende de que él tenga n miembros, para descartarla puede no ser necesario censarlos a todos (aunque sería posible que eso ocurriera, si el total fuese inferior a n): bastará con que la cuenta parcial haya superado el número n. Por ejemplo: no necesito contar todos los quintetos, sino al menos 6, para determinar que el conjunto de todos ellos no es un quinteto y que, por lo tanto, la clase cardinal 5 no es miembro de sí misma.
En cambio, para reclamar la autopertenencia de una clase cardinal n, en razón de poseer ella n miembros, previamente tuve que haber reclutado a todos los conjuntos de n miembros. A esa totalidad se agrega tardíamente el propio conjunto, ya sea que su inclusión tenga efectos paradójicos (cuando n es finito) o no (cuando n es infinito, tipo de cardinalidad que no se altera con el agregado o la resta de un miembro: ℵ₀+1= ℵ₀; ℵ₀–1= ℵ₀; si fuera por esto, bien podría haber ℵ₀ conjuntos que tengan ℵ₀ miembros). Dicho de otra forma, los tríos de este divague se cuentan dos veces: una sin contar al grupo que forman por tener el mismo tamaño y la otra contándolo.

Toma 2

Hagamos de nuevo la reconstrucción del episodio. Una vez que doy por concluida la colección, advierto que la clase cardinal n, constituida al cerrarse el conjunto de los conjuntos con n miembros, tiene n miembros. Entonces reabro lo que había cerrado, rehabilito ad hoc la conjunción, sólo para aplicársela a este conjunto de n miembros. En ese momento, se provoque o no un dilema insoluble, eso es conjunción y conjunto –acción y efecto– a la vez, relación entre términos y uno de los términos de la relación.
Cualquiera de los tríos A, B y C es miembro –de la clase cardinal 3– y conjunto a la vez, pero en relaciones e instancias diferentes; cuando lo aceptamos como un trío más, el conjunto de los tríos es miembro y conjunto al mismo tiempo y en un mismo sentido (un tablero de ajedrez es blanco y negro al mismo tiempo pero en distintos sentidos).
Duplicidades como estas son efectos típicos de una paradoja.

Toma 3

Resumamos. El trío de los tríos se anota necesariamente tarde en la lista de sus propios miembros. Las reglas de membresía, que hasta ese momento del juego se aplicaron con ecuanimidad, se modifican para consentir el ingreso al grupo de un postulante tardío y heterogéneo. Tardío, porque él resulta de haberse constituido el grupo. Heterogéneo, porque él es el mismo grupo ahora ‘concretizado’, dotado de una entidad de postulante. Emancipado de la relación en que consiste, estrena su autonomía postulándose como uno de los términos de esa relación.
Si para evitar esa excepción conviniéramos que un conjunto es un todo de miembros no tardíos, miembros cuya postulación o concurrencia sucede en un mismo tiempo lógico, el conjunto de los tríos no pertenecería a sí mismo en ningún caso: o bien porque no sería un trío o bien porque, si lo fuera, la obtención de su membresía habría sido lograda en un momento lógico posterior al del resto de los tríos, con (y gracias a) el cierre de la colección.