Miniaturas enormes

«A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página, de cuarenta renglones; cada renglón, de unas ochenta letras de color negro.»

Jorge Luis Borges, “La Biblioteca de Babel”

Si sustituimos letras por jugadas y libros por partidas, el conjunto de las partidas posibles del ajedrez equivaldría a una miniatura del conjunto de libros de la Biblioteca de Babel (antes de que una “elegante esperanza” la haga “ilimitada y periódica”, o sea, antes de que ese conjunto deje de ser finito).
Veamos esa miniaturización de un monstruo en otro, que a su vez tendrá como miniatura al universo.

1.

No las unidades, obviamente, pero sí el tipo de unidades en juego en uno y otro caso es el mismo o muy similar, al igual que sus relaciones de integración sucesiva: los caracteres (incluido el espacio en blanco, que separa grupos de otros caracteres –es decir, palabras) se integran en libros y los libros en la Biblioteca total, como las jugadas en partidas y las partidas en el conjunto de las que se puedan hacer en el ajedrez.
En el libro Álgebra recreativa, de Y. Perelman, matemático soviético, encontramos la siguiente cita (Capítulo 1, recreo 11, “Cantidad posible de partidas de ajedrez”):

«En el libro La matemática de los juegos y distracciones matemáticas, de M. Kraitchik, matemático belga, encontramos el siguiente cálculo:

“Al mover la primera pieza, las blancas tienen 20 jugadas a elegir (16 jugadas con los ocho peones, cada uno de los cuales puede avanzar un escaque o dos; y dos jugadas de cada caballo). A cada jugada de las blancas, las negras pueden contestar con cualquiera de esas variantes. Combinando cada movimiento de las blancas con cada uno de las negras tendremos 20 × 20 = 400 variantes después de la primera jugada por ambas partes.
Después del primer movimiento, el número de jugadas posibles es aún mayor. Si las blancas han movido, por ejemplo, e2 - e4, para la segunda jugada tienen ya 29 variantes a elegir. En lo sucesivo, el número de jugadas posibles es todavía mayor. Tan sólo la reina, encontrándose, por ejemplo, en el escaque d5, puede hacer 27 movimientos (suponiendo que todas las casillas donde puede ir estén libres). Sin embargo, para simplificar el cálculo, nos atendremos a las siguientes cifras medias: 20 variantes para cada una de las partes en las primeras cinco jugadas; 30 variantes para cada parte en todas las demás jugadas.
Admitamos, además, que el total de jugadas en una partida normal, como término medio, sea 40. Partiendo de este supuesto, las partidas posibles serán:
(20 × 20)⁵ × (30 × 30)³⁵ ”»

Luego de hacer las «transformaciones y simplificaciones» necesarias «para determinar la magnitud aproximada de esta expresión», el citado Kraitchik concluye:

«Este número deja muy atrás a la consabida cantidad de granos de trigo pedida como premio por la invención del ajedrez (2⁶⁴-1 ≈ 18 × 10¹⁸). Si toda la población del globo terrestre jugara al ajedrez el día entero, moviendo una pieza cada segundo, para agotar todas las posibles partidas de ajedrez, ese juego general y permanente duraría ¡no menos de 10¹⁰⁰ siglos!»

Recordemos que ése es el número de partidas de ajedrez de 40 jugadas cada una. Si se hace el cálculo con partidas que duran lo máximo que el reglamento de la FIDE posibilita, 5.899 jugadas, el número de partidas (el de todas las reglamentarias posibles) se elevaría a unas 10^18.900, según estimó Nenad Petrović.

2.

Aun aumentado al máximo, este número es dejado muy atrás por la cantidad de libros que tendría la incesante y casi vacía Biblioteca de Babel si no fuese periódica o que, si lo es (y en los términos de esa «elegante esperanza»), tiene cada uno de los períodos que la van llenando.
En “Arquitectura fantástica y ‘La Biblioteca de Babel’”, página 546 del libro κηπος, Homejaje a Eduardo J. Prieto (Paradiso, Buenos Aires, 2000), Pablo Martín Ruíz calcula esa cantidad y la compara con la de partículas que se cree tiene el universo:

«¿Cuál es el tamaño de la Biblioteca? Para tener una idea podemos calcular la cantidad de libros que los estantes de los hexágonos de la Biblioteca contienen. Los datos para el cálculo son los siguientes: páginas por libros: 410; líneas por página: 40; espacios disponibles por línea: 80; caracteres totales (22 letras, punto, coma y espacio en blanco): 25. Los espacios disponibles por libro resultan de la multiplicación de 410 × 40 × 80 = 1.312.000. La cantidad de maneras distintas de completar el primer espacio de cada libro es igual a la cantidad de caracteres, o sea, 25. La cantidad de maneras distintas de completar los dos primeros espacios es 25 × 25. Siguiendo con este procedimiento, la cantidad de maneras distintas de completar todos los espacios de cada libro (es decir, la cantidad total de libros de la Biblioteca) surge de multiplicar 25 por sí mismo 1.312.000 veces. Esto se escribe 25^1.312.000. Como número es modesto: uno puede fácilmente agregar ceros a voluntad, tanto en la base como en el exponente, y aumentar el número tantas veces como quiera. Como cantidad es monstruosa: tengamos en cuenta solamente que la cantidad total de partículas subatómicas –protones, neutrones, electrones– que los físicos calculan para el universo, para los miles de millones de estrellas y galaxias del universo (si es que el universo resulta de algún modo similar a como ellos lo imaginan), es de 10⁸⁰. La cantidad de libros de la Biblioteca es inmensamente superior a esa cantidad de partículas, y no hay más que pensar en los millones de átomos que conforman cada libro, para ver que la Biblioteca, aun sin ser periódica, es inmensamente mayor que nuestro universo.»

Si fueran cantidades de lo mismo, 10⁸⁰ sería antes una miniatura de 10^18.900, que también sería una miniatura de 25^1.312.000.

3.

Aun si se produjo 1 libro por segundo, la antigüedad de la Biblioteca también supera por mucho a la del universo, con sus modestos 13.700.000.000 de años. Pero es un «número, aunque vastísimo, no infinito», tanto el de libros como el de segundos, que son el mismo.
Cuando ese total finito se convierte en el período de un eterno retorno, cuando los libros pasan de ser únicos a estar infinitamente repetidos, recién ahí su lectura requiere un viajero eterno; recién entonces los segundos de antigüedad babélica son infinitos y puede decirse que la Biblioteca «existe ab aeterno» (¿por qué el «corolario inmediato» de esto «es la eternidad futura del mundo»?); recién entonces el presente es el límite de una infinitud actual: la de segundos, días o años de una eternidad pasada.
La edad del universo es una miniatura de la edad de la Biblioteca no periódica (en años, 25^1.312.000 ÷ 31.536.000), que a su vez es una miniatura de la edad de la Biblioteca periódica (ℵ_o años).