Lo infinito y el absoluto (Cayendo por el paraíso de Cantor II)

Continuación de este diálogo

Este caer con estilo es del documental coreano La física de la luz, E2: “Luz y tiempo - La Teoría de la Relatividad General”

1. El absoluto ordinal: la Paradoja de Burali-Forti

—Tengo una duda. Los ordinales designan el tipo de orden llamado buen orden.
—Sí.
—Y a su vez ellos están bien ordenados.
—Sí.
—Entonces…
—…

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Entonces debe haber un ordinal que designe el buen orden del conjunto de los ordinales.
—Debe y no puede.
—¿Por qué no? Huele a paradoja.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

→ “Paradojas”

—Fragancia Burali-Forti. Si Ω es ordinal, está bien ordenado: tiene un sucesor inmediato. Ya no puede ser el ordinal de TODOS los ordinales.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Se olvidó del vecino…
—Y ni pensó en el vecino de su vecino, etc. Pero para muestra basta 1 botón: Ω+1 > Ω.
—Como cualquier hijo de vecino.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Sí, esa fórmula la cumplen todos los ordinales, finitos e infinitos.
—Pero el ordinal del buen orden de todos los ordinales, no. ¿Entonces?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Menú:
A) Ω es una totalidad inconsistente y absolutamente ∞ –dice Cantor.
B) Ω no existe, porque suponer que sí lleva a una inconsistencia.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—O sea: o es otro tipo de total o no existe porque no puede ser ninguno de los englobados por la fórmula n+1 > n, que son todos los que hay.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

2. El absoluto cardinal: el Teorema y la Paradoja de Cantor: un ∞ mayor que otro pero nunca que todos

—Al menos en la vecindad ordinal. Porque al cardinal ℵo no lo engorda esa suma: ℵo+1= ℵo. Es otra la ley que incumple un cardinal absoluto.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿Cuál?
—El Teorema de Cantor: para todo conjunto A, el conjunto de sus subconjuntos es mayor: P(A)>A. Si A tiene n miembros, 2^n > n.
—¿Y?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Y que entonces el conjunto de todos los conjuntos no puede ser el mayor, como debe: lo supera el de sus subconjuntos –su conjunto potencia.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—😮
—Si el postulante es el conjunto potencia de A, pierde frente a su conjunto potencia: P(P(A)) > P(A). Y éste pierde frente al suyo, etc.👥

— el Zambullista (@Zambullista) 29 de septiembre de 2017

—¡Qué contrariedad!
—Es la Paradoja de Cantor.
—Una cosa lleva a la otra y sin conjunto no tenés un cardinal que exprese su tamaño.
—Así es.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Las fórmulas, ¿valen si A y n son infinitos? Para los cardinales finitos es obvio: 2³ > 3 = 8 > 3. Pero a ℵo lo vi hacer cosas muy raras.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Cantor probó que 2^ℵo > ℵo. En particular, que el conjunto N, con ℵo naturales, es menor que el conjunto P(N), con 2^ℵo partes de N.
—¿Por?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Porque no alcanzan para contarlos: los naturales no pueden ponerse en relación 1 a 1 con sus selecciones, como sí con sus duplos. ¿Cachái?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

2.1 La diagonal de Cantor

—¿Y cómo lo demostró?
—Dando vuelta una diagonal.
—¿Eh?
—Imaginá una fila N con todos los naturales: 1 2 3 4…
—Listo.
—Hacé una lista abajo.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿De qué?
—De subconjuntos de N.
—¿De qué modo?
—Poniendo S(í) debajo de los números que seleccionás y N(o) debajo de los que no.
—Va: NNNN…

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—No seleccionando ninguno hiciste el subconjunto vacío de N.
—El "no" ya lo tenemos.
—El inverso es el subconjunto de sí mismo: SSSS… ¿Otro?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—SNNN…
—El subconjunto cuyo único miembro es 1: {1}.
—NNSN…
—{3}
—SNSNSN…
—Los impares: {1, 3, 5…}.
—Ok. ¿En qué orden los listo?
—Da igual.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Entonces queda algo así:

1~2~3~4~5…
N N N N N…
S S S S S…
S N N N N…
N N S N N…
S N S N S…
…

—Ahora numerá cada subconjunto de la lista.

— el Zambullista (@Zambullista) 23 de septiembre de 2017

—Ok:
1) {ø}
2) {1, 2, 3, …}
3) {1}
4) {3}
5) {1, 3, 5, …}
…
—👌¿Qué pasaría si te mostrara un subconjunto que no está en esa lista infinita?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Sería muy contraintuitivo. Es infinita… ¿cómo no va a estar ahí?
—Seleccioná las enes y las eses en diagonal, de N-O a S-E.
—Da {NSNNS…}.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Bien. Si invertís las letras te da un subconjunto que no está en la lista: {SNSSN…}.
—¿Por?
—Porque difiere de todos en al menos 1 miembro.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿O sea…?
—El subconjunto 1 no es, porque el 1 no está allá y sí acá. El subconjunto 2 tampoco, porque el 2 sí está allá y no acá. Y así.
—🤔

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Generalizando, no puede ser el subconjunto n porque difiere de él en al menos un miembro: el nº natural n no está acá y sí allá o al revés.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿Y si ahora meto al subconjunto {SNSSN…} en la lista?
—No pasa nada. Volvés a trazar e invertir la diagonal y obtenés otro subconjunto out.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Ouch!
—Asumilo.
—Lo asumo: los ℵo números naturales no me alcanzan para contar (o numerar) todas las selecciones que se le pueden hacer.
—🙌

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

2.2 Lo consistente y lo absurdo: totalidad relativa y totalidad absoluta

—O sea que para presidir todos los tamaños posibles no basta con ser presidente del infinito de los naturales.
—Puesto menor.
—¿Y el mayor?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿El que pueda presidir TODOS los tamaños?
—Sí.
—Volvemos a eso: no hay. Su conjunto potencia sería mayor. Lo frustra la Paradoja de Cantor.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿Puedo probar?
—Avanti.
—¿Todo tamaño transfinito debe ser un ℵ?
—Sí.
—Entonces también el tamaño del conjunto T de todos ellos.
—Sí, pero…

— el Zambullista (@Zambullista) 29 de septiembre de 2017

—Pero no puede porque debe ser el tamaño mayor, cosa imposible: 2^t > t.
—👌
—Debe lo que no puede.
—Serás lo que debas ser o no serás nada.👻

— el Zambullista (@Zambullista) 29 de septiembre de 2017

—No somos nada.
—Decíselo al todo.
—…Barro, tal vez. Y es que esta es mi corteza donde el hacha…🎵
—¡Eh, volvé! Te estás 🎶volviendo canción🎶…

— el Zambullista (@Zambullista) 29 de septiembre de 2017

2.1.1 La Hipótesis del Continuo y el absoluto

—Me quedo corto con un ∞ y me voy al carajo con otro.
—El 1º es una cardinalidad relativa; el 2º, absoluta.
—¿Y esa diferencia es relevante?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Sí, porque con lo 1º te quedás corto si aspirás a lo 2º, con lo que te vas al carajo siempre. Un total ∞ no es absurdo; uno absoluto, sí.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Antes de volver a lo 2º, me queda una duda con lo 1º.
—Evacuá.
—¿Ese otro ∞ es inmediatamente mayor que ℵo? ¿2^ℵo = ℵ_1? ¿Y 2^ℵ_n = ℵ_n+1?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Adiviná: se la llama Hipótesis del Continuo (General, a la 2ª).
—Hipotetizo que aún no se sabe.
—Así es. Pero algo se supo.
—¿Por ejemplo?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Se supo que puede ser verdadera o falsa sin que el sistema axiomático se derrumbe por una inconsistencia.
—Es independiente e inofensiva.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Y sea falsa o verdadera, no toca al Teorema de Cantor. No está en juego si 2^ℵo es o no mayor que ℵo, sino por cuánto.
—📞 para el absoluto.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Sí. El conjunto absoluto no puede y debe ser menor que el de sus selecciones. Está impedido a lo mismo que está obligado.
—Paradojamórfico.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—See. También Kafka anduvo por ahí.
—Antes de seguir cayendo con estilo (?) hacia el absoluto, ¿por qué "del continuo"?
—Por la línea.
—¿Eh?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

2.1.2 Los números reales, los subconjuntos de N y los puntos del continuo

—Los puntos de una línea (aka continuo) son tantos como los nºs reales, que son tantos como los subconjuntos de N: 2^ℵo (aka c).
—¿Reales?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Los reales incluyen a los números que pueden expresarse como una razón entre 2 enteros (racionales) y los que no (irracionales).
—¿Prueba?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Enseguida. Antes quiero que quede claro qué tan probable podía parecerle a Cantor que hubiera más reales que naturales.
—¿Qué tan probable?

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Muy poco. Para que eso fuera cierto, un conjunto, del que hasta ahí se conocían unos pocos miembros, debía tener c (2^ℵo).
—¿Y hubo hazaña?

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Hubo.
—¡Qué emoción!
—Vuelvo a qué incluyen los reales. Con los racionales está todo claro: hay ℵo. Dan fe los turistas vueltos fracciones.

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Siempre sospeché de los irracionales.🙊
—🙉 Los hay algebraicos (√2) y no (aka trascendentes: π, e). Hay ℵo algebraicos, sabía Cantor. Sumá.

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—ℵo racionales+ℵo irracionales algebraicos= ℵo reales, hasta acá.
—Ergo, si hay c reales es porque hay c trascendentes: ℵo+ℵo+c= c.
—¿Y hay?

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Hay.
—Alto aporte de la parte más ignota. Entonces, ¿cómo se pueba que hay c reales?
—Primero los expresás en decimales infinitos.
—¿Por?

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Porque pueden expresarse así todos los reales: racionales (1= 0,9999…; ½= 0,4999…) e irracionales ─algebraicos o no.
—🎶A listar, mi amor…🎵

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—🎶Pero yo sé que hay caballos que se mueren potros sin galopar…🎵
—¿Me querés decir que la lista ∞ va a quedar corta?
—Eso probó Cantor.
—🥁🥁🥁

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Con los redoblantes sonando, aclaro que Cantor probó que hay más reales entre 0 y 1 que naturales.
—Para muestra basta 1 botón, parte 2.

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Exacto. Si entre 0 y 1 hay c reales, no puede haber menos en total ─aun si en los demás ℵo intervalos entre enteros hubiera 0 reales.
—🥁🥁🥁🥁

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Volvé a P(N). En vez de cada subconjunto listado, poné un nº real entre 0 y 1 como decimal ∞. Cambiá cada dígito de la diagonal y obtenés…

— el Zambullista (@Zambullista) 4 de octubre de 2017

—Esperá que lo hago:

0,28307…
0,91521…
0,88475…
0,31078…
0,29139…
…

—Bien. El decimal que te da la diagonal es 0,21479…
—¿Cómo lo cambio?

— el Zambullista (@Zambullista) 23 de septiembre de 2017

—Cualquier método vale. Hacé la Gran HAL.
—¿HAL?
—La computadora de "2001. Odisea en el espacio". Si subís 1 letra en el alfabeto te da IBM.

— el Zambullista (@Zambullista) 23 de septiembre de 2017

—Ok. Mi decimal HAL, bajando 1 dígito, es 0,10368…
—Que no es el 1º, que en su 1ª posición tiene un 2, no un 1. Ni el 2º, 3º… Y así obtenés…

— el Zambullista (@Zambullista) 23 de septiembre de 2017

—Un decimal que no está en la lista.
—¡Bingo! Ergo, hay más reales que naturales. Y tantos como partes de N, si en su lugar pusiste reales.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

3. Lo infinito y el absoluto

—Bien, ahora sí, sigamos cayendo hacia el absoluto.
—La paradoja de Burali-Forti nos revela su cara ordinal; la de Cantor, su cara cardinal.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—El problema con el absoluto es que pretende ser máximo.
—Pretensión que lo define y frustración que lo hace inconsistente.
—¿El ∞ influye?

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Lo contradictorio no es un total infinito, sino un infinito total (de un número finito no esperamos tanto).
—Decilo sin juego de palabras.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—No es contradictoria una totalidad infinita si es relativa. Contradictoria sería una totalidad absoluta (infinita, obvio): el final del ∞.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿RELATIVA ahí significa…?
—Que es menor que otras, ya sea un tamaño o una estructura. Ese absurdo es un seguro de potencialidad incerrable.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿Eh?
—Quiero decir que hace irrestañable el flujo de números enteros.
—Otro esfuerzo.
—Que siempre va a haber más, no habiendo uno máximo.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿Y?
—La imposibilidad de un máximo hace que la posibilidad de seguir sea para los números más insuprimible que para nosotros la de morir.

— el Zambullista (@Zambullista) 1 de octubre de 2017

—O sea que sería más verosímil un inmortal que un conjunto total.
—¿Querés ser eterno? Tomá, pero nunca le pidas un TODO al genio cumplidor.

— el Zambullista (@Zambullista) 1 de octubre de 2017

—¿Y si me lo promete?
—Sería el 2º caso de publicidad fraudulenta más inaudito desde "Historia sin fin".
—¡Conmigo no, genio del voto!
—Fin. pic.twitter.com/QbKbG4x5sK

— el Zambullista (@Zambullista) 1 de octubre de 2017

Los Simpsons, “La chica nueva” (T4E8)

—Toma 2.
—A) No puede haber un momento en que los números dejen de seguir.
B) No puede no haber un momento en que dejemos de seguir.
A > B.

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—¿Por qué mayor y no igual, si son ambos imposibles?
—Un imposible lógico es mayor que uno material. Ni aun eterno verías cesar los números.

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—Ah, bueno, pero eso ya lo teníamos con los números finitos, que por eso son infinitos: 0, 1, 2, 3, … No hacía falta ir a buscar tan lejos.

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

—Que no pueda haber un nº finito máximo no implica que no pueda haber un nº superior a ellos (ω/ℵo). Que no pueda haber un nº máximo, sí.
—😕

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

—Que la infinitud limitada de los naturales no tenga un máximo no se compara con que no lo tenga la infinitud ilimitada de lo coleccionable.

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

—¿Por qué?
—Porque en un caso podés saltar al límite e iniciar otra sucesión infinita (ω, ω+1, ω+2, …) y en el otro ya no hay adónde saltar.

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

—¡Este Absoluto es uno…!
—Ya no hay un Y MÁS ALLÁ; hay sólo un AL INFINITO. Puro viaje. 🚀
—Aquella ausencia de un máximo dejó de ser única.

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

—Pasó a ser la 1ª de una infinitud de ausencias de un máximo (una infinitud de infinitudes).
—La del absoluto debe y no puede ser la última.

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

—Que deba es consistente con que sea el conjunto de todos los conjuntos. Que no pueda, con que sea un conjunto. Conjunto o absoluto. Elegí.

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

—Jodido el dilema. Si elijo conjunto, no puede ser absoluto; si elijo absoluto, no puede ser conjunto, que no puede ser absoluto.
—Ápeiron.

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

—¿Ápeiron?
—Para Anaximandro, lo ilimitado e indefinido (τὸ ἄπειρον: α- "no" y πεῖραρ "límite"). Para nuestros fines, un infinito potencial.

— el Zambullista (@Zambullista) 25 de septiembre de 2017

3.1 El infinito potencial y el absoluto

—Némesis del infinito actual.
—Eterno derrotado: pierde infinitos rounds, 1 por cada ∞ limitado.
—Pero gana el último.
—Pero lo paga caro.

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—¡Victoria pírrica! ¿El precio?
—Pierde el rango de ser UN o EL infinito (una unidad) y pasa a ser LO infinito (un género).
—Un ∞ no número.

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—Dos veces no hay EL infinito:
1) No hay un único infinito, sino infinitos.
2) No hay un total ni un conjunto de todos esos infinitos.
—Ajá.

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—Cualquier otro ∞ que no sea el de todos los conjuntos es actual: es un nº definido, cosa que no es lo "absolutamente ∞" del conjunto TODO.

— el Zambullista (@Zambullista) 3 de octubre de 2017

—Pero sí lo "relativamente ∞" del conjunto N {0, 1, 2, 3,…}.
—Como que pesa ℵo y mide ω. El genuino ∞ potencial es el de lo absolutamente ∞.

— el Zambullista (@Zambullista) 3 de octubre de 2017

—Cuando creíamos que el ∞ era 1 y era una circunstancia (ser sin un Y MÁS ALLÁ), no había distinción entre lo relativa y lo absolutamente ∞.

— el Zambullista (@Zambullista) 3 de octubre de 2017

—¡Qué épocas! Los enteros eran infinitos en potencia y finitos en acto. Ahora son absolutamente infinitos en potencia y aléficos en acto.

— el Zambullista (@Zambullista) 3 de octubre de 2017

—¿El ∞ potencial vendría a ser la cardinalidad y la longitud necesarias e imposibles del absoluto (el conjunto y la estructura totales)?

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—Sí. Y también son expresiones de lo mismo.
—¿Cómo así?
—Lo que tiene de potencial ese ∞ lo tiene de imposible una totalización absoluta.

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—Toma 2.
—Lo cerrado que no puede ser el absoluto es lo abierto que no puede no ser lo infinito.
—¿Decís "lo infinito" porque no tiene un ℵ?

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—Sí. No puede tener un tamaño un conjunto que no es.
—¡No existís!
—¡Hacete de abajo!
—¡Absolutista!
—¡Que le corten la cabeza!
—¡Despertá!

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—Vamo a calmarno. Más que de ser, se trata de deber y no poder ser. ¡It's the paradox, stupid!
—¿Seguro?
—Sí.
—¿Cómo sería en Modo Paradoja?

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—No sé. Capaz algo así: "Estoy cada vez menos seguro de lo que estoy cada vez más convencido".
—¡En tu cara, Lógica!
—¿Sigo?
—No me opongo.

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—No hay un conjunto máximo y sería absurdo que el conjunto de todos los conjuntos no lo fuera.
—¿Quién lo manda a necesitar un imposible?
—🙄

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

—Con las condiciones que pone, no parece tener muchas ganas de ser.
—¿Vos decís?
—La gente anda diciendo. Oí:

😎Acá no es el que no quiere.

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

🤨Debe estar flojo de papeles.
☮️Seamos absolutistas, pidamos lo imposible.
🤓Las estructuras no bajan a la calle.

—Blablabladas. ¿Repasamos?

— el Zambullista (@Zambullista) 2 de octubre de 2017

3.2 Hechos e interpretaciones

—El ∞ del que valdría decir que sólo puede ser potencial, no actual, no será el de los naturales (ℵo), pero sí el de todos los números.
—Sí…

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿Pero…?
—A condición de ver ese "todos" distributivamente (cada uno), no colectivamente.
—La multiplicidad de unidades no hace una unidad.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¡Zatamente! Para esta lectura de las dos paradojas que hacen imposible un total insuperable, no existe un conjunto de todos los conjuntos.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿Y qué existe, entonces?
—Algoritmos que hacen cardinales y ordinales, conjuntos y estructuras. Producción abierta, nunca stock definitivo.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Algo así como que no existe EL infinito, sino LO infinito.
—Algo así.
—Pero dijiste "para esta lectura".
—Otra ve surgir números novedosos.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Volvemos a la opción A del menú ordinal.
—La del propio Cantor: es otro tipo de conjunto, inconsistente y absolutamente ∞.
—Alto hito.
—🔝e.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—Si es tope es único, como el conjunto vacío. Simetría nada-todo.
—Con la diferencia de que el vacío es necesario y el absoluto, imposible.

— el Zambullista (@Zambullista) 22 de septiembre de 2017

—¿No estaremos prejuzgando? Antes era inconsistente que 1 parte no fuese menor que el todo, sino igual. Ahora es definitorio de lo infinito.

— el Zambullista (@Zambullista) 23 de septiembre de 2017

—¿Decís que la violación al Teorema de Cantor, análogamente, define otro tipo de número, donde P(A) = A y 2^n = n?
—Ponele.
—Ponelo en duda.

— el Zambullista (@Zambullista) 26 de septiembre de 2017

—Tengo una duda.
—Y van…
—Lo ∞ transgrede la ley finitista de que la parte debe ser menor que el todo pero cumple con el Teorema de Cantor.

— el Zambullista (@Zambullista) 23 de septiembre de 2017

—Sí, ¿y?
—Sabemos que el conjunto absoluto incumple el Teorema, lo que lo distingue del resto. ¿Qué lo une? ¿Qué ley cumple, como los otros?

— el Zambullista (@Zambullista) 23 de septiembre de 2017

Totalidades

Aprendemos a plasmar nuestro discurso en formas genéricas, y al oír el discurso ajeno, adivinamos su género desde las primeras palabras, calculamos su aproximado volumen (o la extensión aproximada de la totalidad discursiva), su determinada composición, prevemos su final, o sea que desde el principio percibimos la totalidad discursiva que posteriormente se especifica en el proceso del discurso.

Mijail Bajtín, "El problema de los géneros discursivos", en Estética de la creación verbal, México, Siglo XXI, 1998, p. 276; traducción de Tatiana Bubnova

1.

Lo que Bajtín dice sobre el ensartar palabras como método para construir un enunciado, K. von den Steinen lo dice sobre el «añadir una unidad a otra unidad» como método para llegar al número 2. Lo glosa Lenz en La oración y sus partes, que a su vez es citado por Emilio M. Martínez Amador en su Diccionario gramatical y de dudas del idioma (Editorial Sopena, Barcelona, 1974; página 926, entrada NUMERALES):

«...como lo prueba muy bien K. von den Steinen, con añadir una unidad a otra unidad no se llega al número 2. Lo particular no está en que el número se compone de unidades primitivas, sino en que todo número es a la vez una nueva unidad. De consiguiente, el primer número no es uno, sino dos; y el número dos no se ha formado añadiendo uno a uno (lo que eternamente queda como «uno más uno»), sino dividiendo una unidad en dos mitades, dos unidades inferiores, cuya unidad superior es la base ya existente de la cual se parte. Von den Steinen muestra que en varios idiomas el nombre del número dos se relaciona etimológicamente con la palabra que significa «partir leñas», «quebrar palos». Dos es el palo quebrado, el que «junto con otro igual» ha formado antes una unidad» (La oración y sus partes, 103).

Es un punto de llegada –destino, meta, objetivo– el todo de los que ensartan palabras en la esperanza de hacer una frase, igual que el de quienes quieren crear el 2 sumando una unidad a otra. En cambio, el todo de los que rellenan y de los que dividen es un punto de partida: «al seleccionar las palabras partimos de la totalidad real del enunciado» y el número dos «se ha formado [...] dividiendo una unidad en dos mitades, dos unidades inferiores, cuya unidad superior es la base ya existente de la cual se parte».

Esas dos totalidades se ven también en sendos tipos de enumeración. Si enumero con la serie natural (1, 2, 3, ...), la totalidad de lo enumerado la conozco recién con el último paso (... 29 y 30), retrospectivamente (salvo que esté previamente anunciada: “A la cuenta de 3 largamos”). En cambio, si enumero con fracciones (1/5, 2/5, 3/5, ...), la conozco desde el primer paso (5); o sea, prospectivamente (como en una cuenta regresiva —la de un lanzamiento, por ejemplo).

Y ya que estamos, podemos agregar un tercer término a la serie, uno conjuntista: para Zermelo, si uno habla apropiadamente, «no habla del conjunto de todas las cosas que tienen una cierta propiedad; las 'cosas' vienen de algún conjunto A cuya existencia ya ha sido establecida»; habla «del conjunto de todos los x en A que tienen la propiedad».*

   Los fragmentos citados son del libro de Raymond Smullyan Satán, Cantor y el infinito (Gedisa, Barcelona, 1992, pp. 235 y 236; traducción de José A. Álvarez). La explicación completa es esta:

   La idea básica de Zermelo era reemplazar el principio de abstracción ilimitada de Frege, que conduce a una inconsistencia, por lo que se denomina el principio de abstracción limitada, o principio de separación, que es éste: Dada cualquier propiedad y dado cualquier conjunto A, existe el conjunto de todos los elementos del conjunto A que tienen esa propiedad. Así, no podemos hablar del conjunto de todos los x que tienen la propiedad, como lo hizo Frege, pero podemos hablar del conjunto de todos los x en A que tienen la propiedad. La razón de por qué este principio de abstracción limitada de Zermelo se denomina a veces principio de separación es que dado cualquier conjunto A, una propiedad separa los elementos de A que tienen dicha propiedad de los elementos de A que no la tienen. Ahora bien, este principio de separación nunca se ha sabido que lleve a contradicción alguna y parece improbable que así ocurra. Es, por cierto, un principio de uso común por parte del matemático que habla, por ejemplo, del conjunto de todos los números que tienen una cierta propiedad, o si está haciendo geometría, podría hablar del conjunto de todos los puntos de un plano que tienen una propiedad dada. No habla del conjunto de todas las cosas que tienen una cierta propiedad; las 'cosas' vienen de algún conjunto A cuya existencia ya ha sido establecida.
   Si usamos el principio de separación de Zermello en lugar del principio de abstracción ilimitada de Frege, la paradoja de Russell desaparece: ya no podemos generar el conjunto de todos los conjuntos ordinarios, sino que dado un conjunto A por adelantado, podemos formar el conjunto B de todos los elementos ordinarios del conjunto A. (Recordemos que un conjunto ordinario es un conjunto que no es miembro de sí mismo.) Esto no lleva a ninguna paradoja, sino meramente a la conclusión de que B, aunque es un subconjunto de A, no puede ser un miembro de A.

Zermelo dice: separo las cosas en A que son así o asá de las que no. No puedo totalizar (TODAS las cosas así o asá) sin especificar (?en A).

— el Zambullista (@Zambullista) 20 de julio de 2017

Bajtín, K. von den Steinen y Zermelo parecen estar diciendo que la única manera de llegar a la totalidad es partiendo de ella. Y que el viaje se hace siempre hacia un interior.

2.

Una línea que une escenas de igual tipo de relación recorre todo el ensayo de Bajtín “El problema de los géneros discursivos”. En cada episodio de la serie hay algo que no existe suelto, desligado (absoluto), sino bajo la forma de otra cosa, como las cosas para Zermelo vienen de algún conjunto —nunca absolutamente sueltas (desligadas de todo) ni absolutamente libres (con el poder de moverse sin hacerlo en el territorio de una categoría). Primero lo cito y después lo comento:

«...el discurso puede existir en la realidad tan sólo en forma de enunciados concretos pertenecientes a los hablantes o sujetos del discurso. El discurso siempre está vertido en la forma del enunciado que pertenece a un sujeto discursivo determinado y no puede existir fuera de esta forma.»

«Nos expresamos únicamente mediante determinados géneros discursivos, es decir, todos nuestros enunciados posen unas formas típicas para la estructuración de la totalidad, relativamente estables.»

«Cada enunciado separado es, por supuesto, individual, pero cada esfera del uso de la lengua elabora sus tipos relativamente estables de enunciados, a los que denominamos géneros discursivos.»

«Se propusieron y continúan proponiéndose otros enfoques de las funciones del lenguaje, pero lo más característico de todos sigue siendo el hecho de que se subestima, si no se desvaloriza por completo, la función comunicativa de la lengua, que se analiza desde el punto de vista del hablante, como si hablase solo, sin una forzosa relación con otros participantes de la comunicación discursiva.»

Los episodios están anidados:

no hay discurso que no se dé bajo la forma de un enunciado;

no hay enunciado que no se dé bajo algún género discursivo;

no hay género discursivo que no se dé dentro de alguna esfera de la comunicación;

y no hay esfera de la comunicación que no sea social (o sea, que no se dé dentro de alguna sociedad).

Quiere decir que la realidad social, que Bajtín identifica con lo extraverbal, es el primer requisito de lo verbal (o el último, según con qué orientación se vea). Es bajo un enunciado que tiene lugar ese contacto entre la realidad viva y lo lingüístico inerte. Escribe Bajtín, hablando de lo expresivo:

«...sólo el contacto con la realidad que se da en el enunciado es lo que genera la chispa de lo expresivo: esta última no existe ni en el sistema de la lengua, ni en la realidad objetiva que está fuera de nosotros. Así, la emotividad, la evaluación, la expresividad, no son propias de la palabra en tanto que unidad de la lengua; estas características se generan sólo en el proceso del uso activo de la palabra en un enunciado concreto.»

«Dentro del género, la palabra adquiere cierta expresividad típica. Los géneros corresponden a las situaciones típicas de la comunicación discursiva, a los temas típicos y, por lo tanto a algunos contactos típicos de los significados de las palabras con la realidad concreta en sus circunstancias típicas.»

La expresividad «nace en el punto de contacto de la palabra con la situación real, que se realiza en un enunciado individual.»

“La entonación establece una estrecha relación de la palabra con el contexto extraverbal: la entonación siempre se ubica sobre la frontera entre lo verbal y lo no verbal, lo dicho y lo no dicho. En la entonación, la palabra se conecta con la vida. Y ante todo es en la entonación donde el hablante hace contacto con los oyentes: la entonación es social par excellence” (Volóshinov, V.N., “Slovo v zhizni i slovo v poezii”, Zvezda, 1926, núm. 6, 252-253).

«Los enunciados y sus tipos, es decir, los géneros discursivos, son correas de transmisión entre la historia de la sociedad y la historia de la lengua.»

3.

Bajtín imagina una distopía comunicacional: un mundo con los rasgos inversos a los que definen el nuestro:

«Si no existieran los géneros discursivos y si no los domináramos, si tuviéramos que irlos creando cada vez dentro del proceso discursivo, libremente y por primera vez cada enunciado, la comunicación discursiva habría sido casi imposible.»

Los rasgos invertidos de los géneros discursivos en la distopía que los excluye son sus rasgos definitorios: de ser autónomos (o estar automatizados) pasan a ser dependientes (hay que «irlos creando cada vez»); de la sujeción (que supone la estandarización que supone un género discursivo) a la libertad (para variar a gusto en vez de repetir para seguir perteneciendo); de los ecos dialógicos de cualquier enunciado al debut perpetuo de cada uno.