La estirpe infinita

«Los escolásticos creían en un argumento que mostraba que la raza humana no podría haber existido siempre sobre la base de que, si hubiera existido siempre, no habría ningún número que sería el número de todos los seres humanos que existieron alguna vez, mientras que para todo concepto debe haber un número que es el de todos los objetos que caen bajo él.»

Michael Dummett, Frege: Philosophy of Math­e­ma­tics.*

Citado en Sartorio, Ana Carolina: Conjuntos e infinitos, Buenos Aires, Eudeba, 2000, pp. 119 y 120; la traducción le pertenece.

Exacerbemos la hipótesis que los escolásticos rechazaron: imaginemos no sólo que la humanidad existe desde siempre, sino también —en contra de todos los censos poblacionales— que su número ha sido y es infinito. O bien, si se prefiere una fantasía más distante e inofensiva, imaginemos que los ℵ_o huéspedes de un hotel de Hilbert, tan mortales como nosotros, pertenecen sin embargo a una estirpe que existe ab aeterno y cuyas generaciones se suceden desde la más estricta eternidad (un tiempo de ℵ_o unidades, que pueden ser indistintamente segundos, horas o siglos).

La vasta genea­logía que desde un pa­sa­do in­finito converge en una persona cualquiera de esta estirpe (que viva ahora o que haya vivido hace millones de siglos) tiene la forma de una pro­gresión geométrica con exponente transfini­to. Cada individuo (2⁰) tiene dos padres (2¹), cuatro abuelos (2²), ocho bisabuelos (2³), dieciséis tatarabuelos (2⁴), etc. En el límite de su genealogía infinita, el número de parientes más remotos de un individuo (es decir, el número de miembros de su infinitésima generación de antepasados) es 2^ℵ_o, superior al número de huéspedes que aloja y que puede alojar el hotel (más vale que no lo visiten, si resucitan). En el diagrama que sigue, cada uno de los c puntos de la línea vertical representa a un integrante de la infinitésima generación (más precisamente, de la ω-ésima generación).


Los ancestros limítrofes de un individuo son tantos como los de toda su genealogía, de la cual constituyen sólo una parte, un sumando de su suma: 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ +... 2^ℵ_o = 2^ℵ_o · 2 = 2^ℵ_o.
Las genealogías de todos y cada uno de los ℵo huéspedes conforman el número cabal de la estirpe, desde el pasado infinito hasta el presente; no obstante, ese número —producto de 2^ℵ_o · ℵ_o— es igual al de una sola de las ℵ_o genealogías que integran la estirpe, o al número de parientes más lejanos de un solo huésped: nuevamente, 2^ℵ_o.