El conjunto absoluto

   Acordemos que todos los cuartetos forman un conjunto, al que Frege y Russell identifican como aquello que es el número 4. Del mismo modo, todos los quintetos forman un conjunto, que viene a ser la clase cardinal 5. Supongamos ahora que unimos esos dos conjuntos; el conjunto unión de todos los cuartetos y de todos los quintetos es la suma de dos clases cardinales, la 4 y la 5 (las que a su vez son miembros del conjunto de todas las clases cardinales).
   Disponer en un solo conjunto de todos los cuartetos y todos los quintetos nos ha cebado, y vamos por más: formulamos entonces el conjunto T de todos los conjuntos que tienen algún número positivo de miembros o ninguno (es decir, que tienen 0 ó 1 ó 2 ó 3... ó n... miembros). Además de los cuartetos y los quintetos, en él estarán el único conjunto vacío, todos los unitarios, todos los dúos, todos los tríos, etc.

   Hago notar que no formulé el conjunto de todas las clases cardinales (es decir, el conjunto de los números naturales), sino el conjunto unión de todas las clases cardinales: sus miembros no son las clases cardinales 0, 1, 2, 3..., sino los miembros de todas y cada una de ellas, que son conjuntos: desde el conjunto vacío hasta los conjuntos infinitos, pasando por los finitos dúos, tríos, cuartetos, etc. En T sólo hay conjuntos con algún número de miembros.
   Para diferenciarlo mejor, comparémoslo con un conjunto vecino, que resulta de volver a aplicar la operación de unir interiores. Si unimos todos los miembros de cada unitario, de cada dúo, de cada trío, etc., el conjunto unión que obtenemos es el conjunto de todos los miembros (mejor que de todas las cosas); el club de todas las membresías. El conjunto T es la unión anterior; veamos a qué conjunto equivale.
   Pensemos en colecciones diversas: la de todos los puntos de un segmento de línea, la de todos los glaciares, la de todos los números primos, las de todas las gotas de lluvia que tocaron a X, etc. Más allá de las dificultades que en algún caso puedan existir para determinarlo, es razonable creer que cualquiera de estos conjuntos tiene un número preciso de elementos, que será su medida o tamaño. Si ese es el caso de cualquier conjunto, si todo conjunto tiene un número cardinal por tamaño, entonces el conjunto T de los conjuntos con algún número de miembros resulta ser el conjunto de todos los conjuntos. (De hecho, puede interpretárselo como una presentación ordenada suya: primero, el conjunto vacío; luego, todos los unitarios; luego, todos los dúos; etc.)
   ¿Y qué hay de él? Si tiene un número cardinal por tamaño, entonces es miembro de un subconjunto suyo. No es miembro de la clase cardinal 4 –no es un cuarteto– ni de la 5 –no es un quinteto–; pero, si tiene algún número de miembros, ha de ser miembro de alguna clase cardinal. Y como cualquier miembro de un subconjunto de T es también miembro de T, T es miembro de sí mismo.
   Rebobinemos. Como todos los miembros de una clase cardinal n son también miembros de T, cualquier clase cardinal es subconjunto de T. Si T es miembro de sí mismo, también lo es de algún subconjunto suyo, a saber: aquella clase cardinal x a la que pertenezca T por tener x miembros. (Si x fuese un número finito, se reeditaría con T la paradoja de los tres tristes tríos; si fuese infinito, su duplicidad conjunción-conjunto.)

   El hecho de que cada uno de los conjuntos tenga un tamaño no implica que necesariamente su totalidad lo tenga; ¿tampoco obliga a que no lo tenga? Si la respuesta es "No, tampoco", lo máximo que se puede afirmar es que, en caso de tener un tamaño la totalidad de las totalidades (finitas, transfinitas, trans-transfinitas, etc.), no es comparable con los tamaños de los conjuntos (o totalidades) que la componen. Si la respuesta es "Sí, obliga", la razón creo que sería algo así: si haciendo posible que T tenga un tamaño desembocamos en una contradicción, entonces mejor no lo hacemos posible: lo obligamos a ser imposible.
   Nada impide que postulemos que el conjunto T tiene un tamaño –al igual que los conjuntos que lo integran–, a condición de que sepamos que tal tamaño –a diferencia de los otros– no pertenece a la jerarquía que él limita. (La situación no es nueva. Su repetición hace que cualquier etiqueta de absoluto resulte la ilusión de tope que genera una perspectiva encerrada.)


   T tiene un número de miembros mayor que el de cualquier otro conjunto; T es un conjunto máximo. Esto entra en contradicción con un teorema externo a la ley de su formación: con el teorema del conjunto potencia, por el cual no puede haber un conjunto mayor.

   Si un conjunto es un menú, sus subconjuntos serán los combos que se puedan hacer con las opciones del menú (incluidos los casos extremos en que se seleccionen todas las opciones –todo conjunto es subconjunto de sí mismo– o ninguna –el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto–).
   Al conjunto cuyos miembros son los subconjuntos de un conjunto cualquiera A se lo llama conjunto potencia de A, que se abrevia P(A). ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto (es decir, cuántos miembros tiene su conjunto potencia)? Para todo conjunto –finito o infinito–, la ecuación 2ⁿ (donde n es el número de sus miembros) nos da la cantidad de miembros de su conjunto potencia. Por ejemplo: si un conjunto posee 2 miembros (a, b), su conjunto potencia tendrá 2²= 4 miembros (que son los subconjuntos de aquél: {a, b}, ø, {a}, {b}). A su vez, el conjunto potencia de éste tendrá 2⁴= 16 miembros; el de éste, 2¹⁶ = 65.536 miembros; etc. Como se ve, sobre el conjunto mayor obtenido en el último paso se puede lograr uno más grande en el siguiente, sin que la secuencia se detenga en alguno.

   Hay dos leyes que entran en conflicto. Si prevalece el teorema del conjunto potencia, T no puede existir: la prueba es que si existiera, sería lo que el teorema demuestra que no puede haber, un conjunto máximo, el conjunto mayor. Si prevalece el resultado de unir los miembros de todas las clases cardinales, el teorema del conjunto potencia pasa de general a específico: pasa a aplicarse sólo a los conjuntos que delimita con esa imposibilidad.
   Si este es el caso, el teorema del conjunto potencia es válido para cualquier conjunto de la jerarquía que él forma, pero no para la totalidad de ellos, entendida como un conjunto más. Ese total es la expresión de su límite, como ℵ_o lo es de los números cardinales finitos y ω lo es de los ordinales finitos. El teorema impide que T integre la serie (esa serie), no que exista: de hecho, existe en calidad de (o sea, es) su límite; por derecho, también podría ser el término inaugural de otra serie.