Los transfinitos (Capítulo 3: Ordinales)

El buen orden, sus tipos y las clases numéricas

1. Introducción

   Con Georg Cantor cambió la idea que se tenía de los números hasta los que Diamante, de 9 años y medio, quiere a su mamá. Cantor amplió notablemente el club de los enteros positivos, al agregarle los enteros positivos transfinitos (spoiler: no hay transfinitos negativos ni fraccionarios).
   Hasta Cantor, sólo había 1 (una) infinidad de enteros finitos (o números naturales: 0, 1, 2, 3…). Desde él, también hay muchas otras infinidades de enteros transfinitos (en sus dos modalidades, cardinal y ordinal).
   ¿Cuánto es «muchas otras»? Para que se den una idea, es una cantidad inexagerable. Para empezar, excede por mucho —por muchísimo— la capacidad de contar que tienen los números naturales, que es infinita (ese otro es entonces un infinito incontable, se dice; uno contable es contable con el conjunto de los naturales, que acá quedó corto).

   Pero una cosa es que existan esas infinidades supernumerarias y otra es que nos resulten familiares, o incluso conocidas: a más de 120 años de su invención o descubrimiento, todavía el sentido común sobre el infinito es que las estrellas lo son (o pueden serlo) y/o que no hay un último número natural. (Como pares e impares en la serie, los contendientes de disputas que conocí de chico escalaban los valores de lo disputado hasta que uno cerraba diciendo “Siempre 1 más que vos”.)
   Como sea, todavía el sentido común está lejos de aceptar así nomás que el infinito sea una cantidad y que pueda tener un número que la identifique, como cualquier otra; que haya una totalidad infinita (un infinito actual, en vez de uno meramente potencial); o peor: que haya una totalidad infinita mayor que otra totalidad infinita; o peor: que haya una infinidad inimaginable de totalidades infinitas (empezando por la de los números naturales).
   Cantor las llamó ℵ_o, ℵ₁, ℵ₂… ; Luni (7 años y medio) las llamó “infinito 1, infinito 2, infinito 3, y así” (por aplicarse a totalidades, los transfinitos involucrados son los cardinales, no los ordinales, como le dije a Eva hace algo más de 1 año y medio):








   Más allá del chiste, la intuición puede entrenarse, incluso una tan tenaz como esa. Si te enseñan los transfinitos desde la segunda infancia, tal vez no te van a parecer tan contraintuitivos como cuando te los encontrás de grande (si te los encontrás, que no será lo más probable pero acá estás). Pero el camino a esa nueva intuición de lo infinito es una cuerda a varios metros de altura y da vértigo. Algo de eso siente 2 años después Luni, si se me permite posdatar:

   Como sea, lo cierto es que todavía los números transfinitos son contraintuitivos y novedosos para la enorme mayoría de las personas y, por lo tanto, para el sentido común sobre el tema.

   Hablemos de la resistencia o dureza de ese sentido común. ¿Qué otro tema tiene a la gente pensando más o menos lo mismo desde su infancia hasta su muerte, no importa con qué nivel educativo o social y casi que tampoco de qué cultura? Hablame de transversalidad.
   Incluso entre épocas. En su artículo “Contribuciones a la fundamentación de la teoría de los conjuntos transfinitos” (1895), Cantor veía nacer una esperanza que está por cumplir 125 años; puso como último epígrafe esta cita del Libro VII de las Quaestiones Naturales de Séneca (aunque sin atribución autoral):

«Veniet tempus, quo ista quae nunc latent, in lucem dies extrahat et longioris aevi diligentia.» [25,4]
[“Llegará el tiempo en que lo que ahora está oculto saldrá a la luz del día gracias a una persistente diligencia de eras; ...”]

   Séneca continúa así: «...diligentia; ad inquisitionem tantorum una aetas non sufficit» [“una sola época no es suficiente para todas las investigaciones”]. Cantor se lo decía a quienes ya se lo había dicho en 1883 (Fundamentos para una teoría general de conjuntos): sobre el infinito (actual) no está todo dicho, por más que esté dicho desde hace miles de años.

♫ ¿Quién dijo que todo ya está dicho?
Yo vengo a ofrecer mi omegón. ♫

   Al borde de la segunda década del siglo XXI, la situación es esta: los transfinitos son aceptados en círculos académicos y de divulgación, pero no han entrado en los programas de escuelas y colegios; y no han permeado en el sentido común de la gente (en primer lugar, porque son desconocidos; luego, ni bien se los conoce se los rechaza o resiste). Será cuestión de persistir en la diligencia.

   En el primer contacto los transfinitos nos resultan imposibles, contradictorios. Lo que creemos del infinito se opone a ellos, a su existencia, a su posibilidad. Acá busco que resulten comprensibles.
   Antes de Cantor (y mientras lo ignoremos), el infinito es uno y discurre por una sola estructura, la de una enumeración infinita simple: [x, x, x, x…]; desde Cantor, hay varios y discurren por varias estructuras infinitas, empezando por la primera. Acá busco mostrar cómo.
   Con perdón del chiste malo, se podría decir que Cantor engordó como nadie el Aleph. Acá vamos a ver ese engorde (y a continuarlo). Empecemos por el postre.


2. Presentación del buen orden, sus tipos y las clases numéricas

   Con los postres del menú del hotel de Hilbert sólo importaba cuántos y cuáles seleccionábamos, no en qué orden ni qué diseño resulta de ese orden; importaban los conjuntos de postres (los combos), no las series. Les llegó el momento de importar, porque vamos a hablar de los números ordinales transfinitos. Pero como todavía no salimos del menú de tres tristes postres (flan, helado, torta), empecemos por las series finitas y sus ordinales.
   Recordemos: los combos que se pueden hacer con un menú de n postres es 2ⁿ (con 3 postres se pueden hacer 2³ = 8 combos). Complementemos: las series que se pueden hacer con n postres es el factorial de n (n!), que es la multiplicación de n por su antecesor inmediato, el antecesor inmediato de su antecesor inmediato, y así hasta llegar a 1.
   Por ejemplo, con el conjunto {t} se puede hacer 1! = 1 serie: la serie [t]. Con el conjunto {f, h} se pueden hacer 2! = 2×1 = 2 series: [f, h] y [h, f]. Y con el conjunto {f, h, t} se pueden hacer 3! = 3×2×1 = 6 series:

[f, h, t]
[f, t, h]
[h, f, t]
[h, t, f]
[t, h, f]
[t, f, h]

   Las series son distintas porque los postres son dispuestos en distinto orden, pero la forma de las seis series es la misma (son isomorfas): una enumeración de tres postres: p, p, p. Se la puede graficar como una hilera (→), una pila (↑) o una lista (↓), da igual.
   Lo que importa es que si hay una ley o criterio que los (bien)ordene, habrá siempre un postre que será el primero, otro que será el segundo y otro que será el tercero y último. Toda serie de tres términos, no importa cuáles ni en qué orden estén, tiene esta forma (o estructura o tipo de orden), que es la de una progresión finita y cuya longitud es lo que un número ordinal designa.

   Desambigüemos este uso de número ordinal. No es el mismo que hacemos cuando decimos que vamos al 9º piso de un edificio de 14, o que en esa foto Fulano es el 3º de una fila de 10; ahí el número ordinal indica la posición del piso en el edificio y de Fulano en la fila, no la forma que tiene una pila de 9 pisos o una fila de 3 lugares. Y esto y sólo esto hace al concepto de número ordinal de Cantor; la posición de un término dentro de la serie le es indiferente.

   El número 3, en su sentido cardinal, identifica el tamaño (la cardinalidad) de un conjunto de tres elementos: {·.·}; y en su sentido ordinal usado acá, identifica el tipo de orden que supone una serie bien ordenada de tres términos: [x, x, x].
   Este tipo de orden no puede ser identificado por ningún otro número; a su vez, el 3 no identifica ningún otro tipo de orden. Hablemos de esta exclusividad recíproca, común a todos los ordinales (finitos y transfinitos).

   ¿Qué es eso de una serie “bien ordenada”? Los números ordinales no identifican el tipo de orden de cualquier clase de orden, sino específicamente de una, llamada el buen orden. Buen orden tiene cualquier serie de términos consecutivos, con uno que es el primero (el menor, si los disponemos de menor a mayor). Que sean consecutivos significa que cada término tiene su sucesor inmediato, o bien hasta uno último (la serie es finita), o bien sin un último sucesor inmediato (la serie es infinita). O tienen sucesor inmediato todos menos uno (el último) o tienen todos (no hay último).

   Ejemplificando se entiende la gente.
   La enumeración de enteros positivos según su magnitud genera una serie bien ordenada, ya sea que enumeremos sólo 3 (serie finita) o todos (serie infinita).
   En cambio, las fracciones que hay entre otras dos no generan una serie bien ordenada según su magnitud porque sus términos no son consecutivos: entre dos fracciones siempre hay otra (es la densidad de los racionales —que son los enteros más los fraccionarios).

   Esto es algo que a Zenón le hizo inferir que el corredor Aquiles no debería poder abandonar la línea de largada: antes de ir de A a B tiene que pasar por la mitad (½); y antes, por la mitad de la mitad (¼); y antes, por la mitad de la mitad de la mitad (⅛); etc.

   Una cuenta regresiva finita es un buen orden: empieza (en 5, por ejemplo) y es consecutiva (–5, –4, –3, –2, –1). Pero una cuenta regresiva infinita (todos los enteros negativos ordenados así: …–3, –2, –1) tiene términos consecutivos pero no un buen orden porque no tiene un primer término, aunque tenga uno último (termina pero no empieza, como una eternidad anterior).*

   Existe una analogía aritmética de esta situación. A la inversa de la notación de números como π (3,14159…) o √2 (1,414…), que comienza pero no termina, hay dos números muy peculiares cuya notación termina pero no comienza; sus siete últimas cifras son ...7.109.376 y ...2.890.625.
   Para una explicación accesible y detallada del modo como se agrega una nueva cifra al grupo, véase Perelman, Y., Álgebra recreativa, Moscú, Editorial Mir, 1975, pp. 72-74.

   Pero si en vez de regresiva la hacemos progresiva, la cuenta de los enteros negativos es una serie bien ordenada (de menor a mayor monedas adeudadas, por ejemplo): –1, –2, –3, –4… . Hay un primer término y cada uno tiene su sucesor inmediato: hay un buen orden. ¿Qué tipo de buen orden es? Eso lo dice un número ordinal.
   Como consecuencia de esta relación de designación, los números ordinales se van correspondiendo 1 a 1 con los tipos de orden del buen orden (lo digo así porque suponer que existe el conjunto de todos los ordinales es problemático). Si una serie tiene un buen orden, tiene un ordinal que dice cuál es; si tiene un ordinal, es porque tiene un buen orden, del tipo que el ordinal designa.

   Como no hay otra forma de ordenar tres términos que no sea en una progresión [x, x, x], con números finitos los cardinales y los ordinales coinciden: un tamaño 3 corresponde siempre a un tipo de orden 3. O también: con un campo que provea 3 elementos no se puede hacer más que una progresión de 3 términos, cualquiera sea (de las 6 posibles).
   En cambio, ℵ_o elementos los podemos distribuir en una infinidad de estructuras distintas, no en una sola; la menor de ellas es una progresión de ℵ_o términos consecutivos, con uno que es el primero y ninguno que es el último:

x, x, x, x, ...

   Es la forma que tiene la enumeración de los naturales según su magnitud:

0, 1, 2, 3, ...

   El ordinal que identifica este tipo de orden es ω (la letra omega minúscula), el primer y menor ordinal transfinito. Todas las estructuras en las que se puedan distribuir ℵ_o elementos pertenecen a la Segunda Clase Numérica. ¿Cuántas son? ¿Hay ℵ_o estructuras así? No: hay más, inmediatamente más: hay ℵ₁ ordinales en la Segunda Clase Numérica. Ya no es un infinito contable (o enumerable).

   Esta relación no es nueva. Decir que hay infinitos números finitos equivale a decir que el cardinal que mide el conjunto de ordinales de la Primera Clase, todos finitos, es ℵ_o.
   A su vez, el cardinal que mide el conjunto de elementos que se ordenan en la forma definida por un ordinal finito es un cardinal finito; de hecho, es el mismo: si el ordinal es n, se ordenan ahí n elementos. Luego, por cada cardinal finito hay un ordinal finito, y viceversa.
   Esta correspondencia entre cardinales y ordinales en el dominio de lo finito nos resulta invisible porque la creemos universal. Cuando vemos que las otras clases numéricas no la tienen, pasamos a verla infinitamente excepcional: su jurisdicción es la Primera Clase Numérica, de las que hay tantas como números cardinales transfinitos midiendo su tamaño.

   La Tercera Clase Numérica tiene ℵ₂ ordinales, cada uno de ellos identificando una estructura donde se distribuyen ℵ₁ elementos. La Cuarta Clase tiene ℵ₃ ordinales, cada uno de ellos identificando una estructura donde se distribuyen ℵ₂ elementos; etcétera.
   Los números cardinales transfinitos ℵ (y está demostrado que no hay ninguno que no sea una alef) tienen por subíndices números ordinales, primero los finitos y luego los transfinitos: después de todos los ℵ_n (ℵ_o, ℵ₁, ℵ₂, ...) viene ℵ_ω, que los limita y a la vez es el menor y el primero de otra serie infinita (ℵ_ω, ℵ_ω+1, ℵ_ω+2, ...). Y esto recién empieza.
   Este insoslayable gen ordinal en el número cardinal transfinito habla de la relación que hay entre ellos, de su entrelazamiento. El “ordicardinal” es un cardinal que identifica el tamaño infinito del conjunto de ordinales de una misma clase numérica: ℵ_o identifica el tamaño del conjunto de ordinales de la Clase I; ℵ₁, el tamaño del conjunto de la Clase II; ℵ₂, de la Clase III; etcétera.
   Moraleja obvia: entender cómo crece la serie de ordinales transfinitos es necesario para ver crecer la de los cardinales que los llevan de subíndices. Moraleja menos obvia: el paraíso que Cantor creó para nosotros y del que nadie podrá expulsarnos es un entramado de tamaños y estructuras.
   Dejemos que el aludido Hilbert nos guíe por una versión de ese paraíso, que convirtió en un complejo hotelero (y en una estructura mayor, que incluye a ese y a los otros ℵ_o complejos hoteleros; y en otra; y en otra; etcétera).


3. La construcción

   Hola, soy David Hilbert. Tal vez me recuerden por películas como “El hotel infinito” o “Pueden venir cuantos quieran, que serán tratados bien”...
   La segunda trataba de alguien que se ponía a cantar argumentos de equipotencia entre conjuntos infinitos que el sentido común (finitista) nos dice que tienen que ser desiguales porque

• hay la mitad de pares que de pares más impares;
• hay el doble de enteros positivos y negativos que de enteros positivos;
• hay infinitas fracciones entre dos enteros;
• los cuadrados (n²: 0, 1, 4, 9, 16…) se van espaciando en la serie de los naturales.

   En cualquier caso, eran argumentos cardinales: comparación entre tamaños. Es el turno de comparar estructuras.

   Este es el relato del crecimiento de mi ambición hotelera. Todo empieza con un terreno baldío (0). Luego, en el modestísimo ini­cio de mi prosperidad, logro construir una pieza (1); después, otra al lado (2) y otra (3). Ya tengo un hotel de tres habitaciones. En el límite de su expansión horizontal, tendré un hotel de ℵ_o habitaciones, con capacidad para sendas personas (ya sea que supongamos que por cuarto hay 1 persona, 2, 3, 15.082.008 o ℵ_o, ya que ℵ_o × n = ℵ_o y ℵ_oⁿ = ℵ_o; hablemos de cuántos ángeles caben en la cabeza de un alfiler).
   El dato de que hay ℵ_o habitaciones nada nos dice sobre cómo están dispuestas; esa información nos la da, para el caso de este motel, el número ordinal ω. El cardinal ℵ_o identifica el tamaño del conjunto que forman las habitaciones: su cantidad, no su ordenamiento. La forma o estructura de una serie de habitaciones, con una que es la primera, otra que es la segunda, y así siguiendo sin una que sea la última, es lo que identifica el ordinal ω:

h, h, h, h, ...

   Como esa hilera infinita de habitaciones no puede ser aumentada con el agregado de una más, decido dejar de construir a lo largo y empiezo a construir a lo alto. Agrego entonces una habitación arriba de la primera y transformo el motel en un incipiente edificio con ℵ_o cuartos en su Planta Baja (o Piso 0) y sólo uno en su primer piso. Su estructura se ve así:

Piso 1: h.
Piso 0: h, h, h, h, ...

   Si tuviera que representarse en una línea, adoptaría la forma de una sucesión infinita con un término suelto al final:

h, h, h, h, ...     h.

   En definitiva, a la estructura identificada por ω se le ha acoplado la estructura identificada por 1, y se obtuvo la estructura compuesta cuyo ordinal es ω+1.
   Por cierto, la cantidad de turistas que puedo hospedar, a uno por cuar­to, es la misma que antes, ya que en esta versión del hotel hay en total ℵ_o+1 = ℵ_o habitaciones disponibles. Pero es innegable que mi construcción es mayor de lo que era, ya que su estructura pasó de ser simple (aunque de infinitos lugares) a ser compuesta (una estructura de ℵ_o lugares y otra de 1).
   Que esta estructura compuesta es mayor que aquella simple se verifica observando que la simple es igual a una parte de la compuesta (la parte que se obtiene omitiendo el único cuarto del primer piso), mientras que la compuesta no es igual a ninguna parte de la simple. Así se dirimen las cuestiones de lo mayor o menor o igual (la tricotomía) en el universo ordinal.

   La estructura aumenta —y con ella el número ordinal que la mide— cuando construyo una segunda habitación en el primer piso (ω+2), y luego una tercera (ω+3), y luego una cuarta (ω+4), etc. Como ocurrió con la Planta Baja, al primer piso del edificio se lo puede hacer crecer hasta ℵ_o habitaciones; agregarle una más a esa cantidad no lo hará más largo. Así, en el límite de este incremento el hotel duplica la longitud que tenía en su PB (ω+ω = ω×2). Grafiquemos los tres primeros pasos de este proceso y su límite:


   Ahora tengo un hotel de dos pisos, cada uno de ellos con ℵ_o habitaciones. La transcripción lineal de esta estructura tendrá la forma de una pro­gre­sión de dos sucesiones infinitas:

h, h, h, ...     h, h, h, ...

   La única manera inmediata de aumentar esta estructura es edificando una habitación arriba de la primera habitación del primer piso; con ella inauguro el segundo piso del hotel, que construiré del mismo modo que la PB y el primer piso: siempre agregando de a una habitación.
   El ordinal de la nueva estructura de dos pisos de infinitas habitaciones y uno de una es (ω×2)+1; su transcripción lineal es una progresión de dos sucesiones infinitas seguidas de un único término suelto:

h, h, h, ...     h, h, h, ...     h.

   La construcción de la segunda habitación del nuevo piso nos da el ordinal (ω×2)+2; la de todo el piso con sus ℵ_o habitaciones, el ordinal (ω×2)+ω (= ω+ω+ω), es decir, ω×3. Tenemos entonces un hotel de 3 pisos, cada uno de ellos con ℵ_o cuartos. (A pesar de este incremento estructural, la capacidad del hotel para albergar turistas no ha cambiado: ahora puede recibir ℵ_o × 3 = ℵ_o personas, igual que cuando consistía sólo en su actual PB.)
   Con idéntico método de construcción, al hotel de 3 pisos infi­nitos le sigue el hotel de 4 pisos infinitos (ω×4), el de 5 (ω×5), etc. El límite de la altura que puede ganar el hotel es el mismo que el límite de la extensión de cada piso, medida en cantidad de habitaciones: ℵ_o pisos; agregar más pisos no hará mayor la estructura del hotel, cuyo número ordinal habrá llegado a ω×ω = ω²:

· · ·
P3     h, h, h, h, ...
P2     h, h, h, h, ...
P1     h, h, h, h, ...
P0     h, h, h, h, ...

   La transcripción de ω² en una línea da una progresión infinita de sucesiones infinitas:

h, h, h, h, ...     h, h, h, h, ...     h, h, h, h, ...     ...

   Nada de esto significa que la estructura alcanzada sea inaumentable, que no se le pueda agregar un lugar más; sólo significa que con ella hemos completado, en realidad, el primer edificio del complejo hotelero de Hilbert. O mejor: el primer cuerpo del (primer) edificio del (primer) complejo hotelero de la (primera) empresa del (primer) holding del (primer)... …de Hilbert.
   Entonces: si con esta estructura se completa un cuerpo del edificio, la construcción de la siguiente habitación (ω²+1) da comienzo al segundo cuerpo (más específicamente, a la PB del segundo cuerpo, cuyo número ordinal, una vez completada, será ω²+ω).
   Sobre la primera habitación de la PB infinita del segundo cuerpo edificamos la siguiente habitación, que es la primera del primer piso del segundo cuerpo; tenemos ahí una estructura de ordinal ω²+ω+1. La segunda habitación de este primer piso le da al hotel el ordinal ω²+ω+2; el piso entero, el ordinal ω²+ω+ω, es decir, ω²+(ω×2): un hotel de dos cuerpos, uno de infinitos pisos con infinitas habitaciones cada uno, y el otro de sólo dos pisos infinitos.

Cuerpo 1 · · ·     · · ·
P3     h, h, h, h, ...
P2     h, h, h, h, ...
P1     h, h, h, h, ...
P0     h, h, h, h, ...

Cuerpo 2


P1     h, h, h, h, ...
P0     h, h, h, h, ...

   Aumentando el tranco para apurar el paso, me espera la construcción de

• 1 edificio de ℵ_o cuerpos de ℵ_o pisos de ℵ_o habitaciones (ω²×2, ω²×3, ω²×4, ... ω²×ω = ω²⁺¹ = ω³),
• 1 complejo hotelero de ℵ_o edificios de ℵ_o cuerpos de ℵ_o pisos de ℵ_o habitaciones (ω³×2, ω³×3, ω³×4, ... ω³×ω = ω³⁺¹ = ω⁴),
• 1 empresa de ℵ_o complejos hoteleros de ℵ_o edificios de ℵ_o cuerpos de ℵ_o pisos de ℵ_o habitaciones (ω⁴×2, ω⁴×3, ω⁴×4, ... ω⁴×ω = ω⁴⁺¹ = ω⁵),
• etcétera.

   El límite de todas las potencias finitas de ω (ω², ω³, ω⁴, ...) es la potencia transfinita ω^ω, ordinal que identifica 1 estructura compuesta por las ℵ_o estructuras de integración sucesiva que hay en ese «etcétera». Y todavía (y siempre) es el principio.


4. La distribución

   Pasemos de la metáfora de la construcción de unidades en estructuras de integración sucesiva (sin una última, mayor, no integrada a otra) a la metáfora de la distribución de infinitas unidades en una u otra estructura. En lugar de levantar habitaciones vamos a repartir infinitos números naturales de tantas formas diferentes como números ordinales veamos. Y ya que estamos, apuntemos "lejos": recorramos el camino que lleva a distribuir ℵ_o números naturales en una estructura ω^ω.
   En la primera etapa del viaje empezamos desplegando, de menor a mayor, todos los números primos y continuamos con la multiplicación de cada uno por sí mismo y por los primos que le siguen. El punto de partida, la serie de los números primos [2, 3, 5, 7,...], presenta el ordinal ω, ya que su estructura es la de una progresión infinita con un primer (y menor) término:

x, x, x, x, ...

   En el primer turno, la multiplicación del 2 por sí mismo y por los primos que le son superiores genera otra serie con el ordinal ω: [4, 6, 10, 14,...]; otro tanto sucederá cuando le llegue el turno a cada uno de los restantes números primos (el 3, el 5, el 7, etc.). Por lo tanto, como las series con ordinal ω se suceden infinitas (ℵ_o) veces, todas ellas cons­tituyen una serie cu­yo propio ordinal es ω×ω, es decir, ω².
   Todos los números naturales dispuestos hasta ahora o son números primos o son productos de una multiplicación entre números primos. Así, el cumplimiento de la primera etapa de la distribución nos ha dado dos series de números naturales: primero, una de ordinal ω (la serie de todos los primos, de la que partimos); luego, otra de ordinal ω² (los productos del 2, los del 3, los del 5, etc.):

[2, 3, 5, ...]     [4, 6, 10, ...     9, 15, 21, ...     25, 35, 55, ... ...].

   La unión de estas dos series, consumada respetando su orden de gestación, nos da una serie de estructura idéntica a la mayor:

[2, 3, 5, ...     4, 6, 10, ...     9, 15, 21, ...    25, 35, 55, ... ...].

   Como la segunda, esta es también una sucesión infinita de sucesiones infinitas. No son la misma serie, porque difieren en su primera sucesión infinita (que en esta es la sucesión de los primos y en aquella es la sucesión de sus duplos); pero tienen la misma estructura y, por lo tanto, el mismo número ordinal (análogamente, el conjunto de los naturales y el de los pares no son el mismo conjunto, pero tienen el mismo número cardinal).
   Aritméticamente, la unión de dos series se expresa como la suma de sus números ordinales, del mismo modo que la unión de dos conjuntos se expresa como la suma de sus números cardinales. La unión que acabamos de hacer corresponde a la suma ω + ω² = ω². Si no hubiésemos respetado el orden en que se presentaron las series, el resultado de su unión (y el de la suma de sus ordinales) habría sido muy diferente. La serie obtenida habría sido la siguiente:

[4, 6, 10, ...     9, 15, 21, ...    25, 35, 55, ... ...        2, 3, 5, ...].

   La morfología de esta serie es la de una sucesión infinita de sucesiones infinitas seguida de una sucesión infinita:

[x, x, x, ...     x, x, x, ...     x, x, x, ... ...        x, x, x, ...].

   El ordinal de esta estructura es ω²+ω, número tanto más grande que ω² como que en la jerarquía de los ordinales ocupa la ω-ésima ubicación después de ω² (la primera ubicación la tiene ω²+1; la segunda, ω²+2; la n-ésima, ω²+n).
   Así, a diferencia de la unión de dos conjuntos (entidades que prescinden del orden de sus constituyentes y carecen, por lo tanto, de una forma definida), la unión de dos series (entidades que consisten en un orden y, por lo tanto, tienen la forma que dibuja ese ordenamiento) da resultados diferentes según en qué orden se la realice. O sea: en la suma, los números ordinales transfinitos desconocen la propiedad con­mu­tativa que conocen los ordinales finitos y los cardinales de ambos talles.

   Antes de pasar a la segunda etapa del proceso, observemos que esta distribución de números naturales, por estar basada en números primos, deja afuera a los dos números menores que el menor número primo: el 0 y el 1. No son necesarios para la prueba, pero pueden ser incorporados si se quiere, lo que puede servir para volver a ver la no conmutatividad de la suma con ordinales transfinitos.
   El objetivo es mostrar que los miembros de un conjunto enumerable (o sea, de cardinal ℵ_o) pueden ser distribuidos según la forma específica que identifica el número ordinal ω^ω, que es la de una progresión infinita de infinitas progresiones infinitas de infinitas progresiones infinitas de... (continúese ℵ_o veces esta recursión y se habrá enunciado la progresión que el ordinal ω^ω nombra). Para cumplir ese objetivo, como conjunto enumerable puede servir tanto el conjunto de todos los naturales como una parte infinita suya, la que consiste en todos excepto el 0 y el 1: {2, 3, 4, 5, 6, ...}. Este será el conjunto enumerable de naturales que será distribuido en una estructura de ordinal ω^ω operando a partir de primos.
   Pero si lo que se quiere es ubicar a todos los números naturales en esa estructura, bastará con unir antes de esta mega progresión (o de cualquiera de sus partes) la progresión finita de dos términos [0, 1]. Si lo hacemos al inicio del proceso, cuando sólo tenemos la sucesión infinita de los números primos, de las dos series

[0, 1]     [2, 3, 5, 7, ...]

obtendremos, uniéndolas en ese orden, la serie

[0, 1, 2, 3, 5, 7, ...],

cuya forma es la de una progresión infinita, igual que la del segundo sumando:

[x, x, x, x, x, ...].

   Si la progresión finita de 2 términos la uniéramos a la progresión infinita de primos colocándola después de ésta, en lugar de una estructura de 2+ω = ω obtendríamos una estructura de ω+2, que es el ordinal de la serie

[2, 3, 5, 7, ...     0, 1].

   Y si esos dos números naturales, inconseguibles mediante el recurso de los primos, los pospusiéramos a la serie completa que arma el recurso, estaríamos disponiendo todos los ℵ_o naturales en una estructura de ordinal ω^ω+2.


   En la segunda etapa de la distribución de los naturales en una estructura de ordinal ω^ω, el primo 2 multiplicará los productos del 2 (4, 6, 10, 14, ...), del 3 (9, 15, 21, 33, ...), y de los restantes primos mayores que él. A su turno, el siguiente primo, el 3, multiplicará los productos del propio 3, los del 5, los del 7, etc. Así, cada primo será el multiplicador de los productos de los primos que sean iguales o mayores que él. El siguiente cuadro reproduce las multiplicaciones de las dos etapas descriptas.


   Los números naturales que aportó la segunda etapa ya no son productos de números primos, sino productos de productos de números primos (por ejemplo, 12 es el producto de un primo, el 2, por el producto de 2×3, que son también primos).
   Reemplacemos las fórmulas por sus resultados y designemos con una letra minúscula griega cada columna consistente en una sucesión infinita de sucesiones infinitas (ω²). La columna de la multiplicación del 2 por los productos del 2, del 3, del 5, etc., llevará la primera letra del alfabeto, α; la columna de la multiplicación del 3 por los productos del 3, del 5, del 7, etc., llevará la segunda letra, β; y así siguiendo. La excepción será la columna de la primera etapa, también de ordinal ω², que será identificada con una “P” latina.
   En el cuadro que muestra estos cambios, las dos series de resultados de la primera etapa (la serie con ordinal ω y la serie con ordinal ω²) figuran, respectivamente, con sus números en negrita y en itálica; los números de las infinitas series de la segunda etapa carecen de atributos tipográficos.


   La serie de las columnas [α, β, γ, δ, ...] es infinita, como que hay una por número primo. A su vez, cada columna es una sucesión infinita de sucesiones infinitas; las series con ordinal ω², por lo tanto, se repiten infinitas veces: ω²+ω²+ω²+... = ω²×ω = ω²⁺¹ = ω³. La serie de números naturales que provee la segunda etapa es, entonces, una sucesión infinita de sucesiones infinitas de sucesiones infinitas, cuyo ordinal es ω³.

   Recapitulemos las tres series de nuestra suma de ordinales:

ω    [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...]
+
ω²  [4, 6, 10,...    9, 15, 21,...    25, 35, 55,...     49, 77, 91,... ...]
+
ω³  [8, 12, 20,... 18, 30, 42,... 50, 70, 110,... ...;     27, 45, 63,... 75, 105, 165,... 147, 231, 273,... ...;     125, 175, 275,... 245, 385, 455,... ...;     343, 539, 637,... ...;     ... ...]

   Esta suma supone la unión sucesiva y ordenada de las series. Si a la serie que es la unión de las dos primeras la unimos a la tercera, la primera de las infinitas sagas con ordinal ω² no será ya

[8, 12, 20,...     18, 30, 42,...     50, 70, 110,...     ...]

sino

[2, 3, 5,...    4, 6, 10,...    9, 15, 21,...    25, 35, 55,...    ...].

   Nuevamente, esto significa que la serie unión de las tres series es diferente en su conformación a la tercera de ellas (difieren en sus términos), pero no en su forma o tipo de orden (su “ordinalidad”): ambas tienen la misma estructura y, en consecuencia, el mismo número ordinal: ω³.

   La columna α resulta de multiplicar por 2 (el primer primo) la columna P desde su primera sucesión infinita; la columna β resulta de multiplicar por 3 (el segundo primo) la columna P desde su segunda sucesión infinita. Y en general, cualquier columna resulta de multiplicar por el n-ésimo primo la columna P desde su n-ésima sucesión infinita.
   En la tercera etapa del proceso, cada una de estas columnas griegas será objeto de una multiplicación análoga a la que sufrió P en la segunda; en la cuarta etapa, cada una de las columnas resultantes de la etapa anterior correrá la misma suerte; y así siguiendo. Estos son los productos de la tercera etapa:


   Recapitulemos el historial de nuestro ordenamiento. Primero, la estructura de ordinal ω que formó la serie de los números primos se repitió ℵ_o veces en una progresión idéntica a la original, sólo que ya no de números, sino de progresiones infinitas de números; el resultado fue una estructura de ordinal ω×ω = ω². Ésta, en la segunda etapa, hizo lo mismo, para dar una estructura de ordinal ω²×ω = ω³. En la tercera etapa, igual: infinitas series de ordinal ω³ se suceden en una progresión infinita y dan una estructura de ordinal ω³×ω = ω⁴. La cuarta ronda de multiplicaciones dará una estructura de ordinal ω⁴×ω = ω⁵. El límite de la serie ω (= ω¹), ω², ω³, ω⁴, etc., es ω^ω.

   Una vez que se ha captado el mecanismo de la distribución, no es difícil extender sus resultados. Así, para distribuir los ℵ_o números naturales del subconjunto {2, 3, 4, 5,...} en una estructura que sea el doble de la anterior (o sea, de ordinal ω^ω×2), bastará con clonar la que acabamos de hacer.
   Para eso, en la primera estructura ω^ω, en lugar de empezar con la serie de todos los primos empezamos con otra que despliega una parte infinita de los primos: los que no son primos de Mersene. Para la segunda estructura ω^ω empezamos con la serie infinita de primos de Mersene, ordenados de menor a mayor, y le aplicamos el mismo sistema de multiplicaciones que ya conocemos.

   El éxito en la distribución de los ℵ_o números naturales en una estructura de ω^ω muestra que a este ordinal le corresponde aquel cardinal. Para decirlo de otra manera, el campo de una serie con ordinal ω^ω es un conjunto infinito enumerable, lo que demuestra su pertenencia a la Segunda Clase Numérica.

4.1 Los predecesores

   Podríamos ver otro conjunto de ℵ_o miembros distribuidos en una estructura ω^ω. Los miembros del conjunto esta vez no serían enteros positivos finitos, sino números ordinales. No cualesquiera ni en cualquier distribución, sino exactamente los que preceden —en este caso— al ordinal ω^ω en la serie de ordinales ordenados de menor a mayor.
   Pero como esta relación entre estructuras y tamaños vale para cualquier número ordinal, finito o transfinito, ilustrémosla con otros que nos resulten más intuibles. Por ejemplo, el ordinal ω+1, que identifica esta estructura:

x, x, x, x, ...     x.

   Esta progresión infinita (ω) seguida de un término suelto (+1) es la misma estructura que tienen los números ordinales que preceden a ω+1:

0, 1, 2, 3, ...     ω.

   Para el segundo ejemplo, retrocedamos un paso en la serie. El ordinal ω identifica la forma

x, x, x, x, ...,

que es la misma forma que tienen, ordenados de menor a mayor, los ordinales que preceden a ω, que son todos los finitos:

0, 1, 2, 3, ...

   Esto de que la forma que un ordinal identifica sea la que tienen los ordinales que lo preceden en la serie vale también para ordinales finitos, si empezamos por el 0. Así, el ordinal 3 identifica la forma

x, x, x

y esa progresión de tres términos es la que tienen sus predecesores:

0, 1, 2.

   Si lo que abunda no daña, vayamos hacia adelante del primer ejemplo para dar el cuarto. El ordinal ω+2 identifica el ordenamiento de una progresión infinita seguida por (una progresión de) dos términos:

x, x, x, x, ...     x, x.

   Es lo mismo que dibujan los ordinales que preceden a ω+2:

0, 1, 2, 3, ...     ω, ω+1.

   A riesgo de saturar, como quinto y último ejemplo saltemos al siguiente límite de una sucesión infinita. El ordinal ω+ω sigue a [ω, ω+1, ω+2, ω+3,...] como ω sigue a [0, 1, 2, 3,...]: es el que viene después de ese desfile infinito de números. Y del mismo modo que 3+3 puede expresarse como 3×2, y 8+8 como 8×2, ω+ω equivale a ω×2 e identifica una progresión de dos progresiones infinitas:

x, x, x, x, ...     x, x, x, x, ...

   Y exactamente eso dibujan los ordinales anteriores a ω×2:

0, 1, 2, 3, ...     ω, ω+1, ω+2, ω+3, ...

   En los cuatro casos que vimos de predecesores de un ordinal transfinito hay ℵ_o números ordinales distribuidos de menor a mayor, simplemente porque
ℵ_o + 1 = ℵ_o,
ℵ_o + 0 = ℵ_o,
ℵ_o + 2 = ℵ_o, y
ℵ_o + ℵ_o (= ℵ_o × 2) = ℵ_o.
   Ergo, ω+1, ω, ω+2 y ω+ω (ω×2) son números de la Segunda Clase Numérica. Ya demostramos que ω^ω también, rellenando su estructura con ℵ_o enteros positivos. Para verlo con su séquito de predecesores es necesario hacer una excursión más minuciosa y extensa por el paraíso ordinal de Cantor.


5. La excursión

   Empecemos desde el principio. El primer tramo lo cursamos paso a paso:

0, 1, 2, 3, ...

   Es la Primera Clase Numérica (Clase I), que tiene ℵ_o ordinales, todos finitos. El paso a paso (primer principio de generación, llamaba Cantor a ese «+1») no nos sacará de ahí; será necesario dar un salto al límite de esa serie infinita (segundo principio de generación, para Cantor). El salto nos deja en el ordinal transfinito que sigue a todos los ordinales finitos, cuya forma identifica (ω = x, x, x, x, ...) justamente porque los tiene de predecesores.
   Pero ω no es el único ordinal transfinito que hay: no es máximo, insuperable. Y no lo es porque los dos principios de generación de ordinales (un paso al siguiente, un salto al límite) impiden su cierre. De hecho, a pesar de su nombre, ω es apertura: es el primero (porque es el menor) de todos los ordinales transfinitos de la Segunda Clase Numérica (Clase II). ¿Cuáles son? Los que identifican estructuras que pueden alojar ℵ_o elementos. ¿Cuántos son? ℵ₁.
   ¿Cómo sigue? Los ℵ₂ ordinales de la Clase III serán los que identifiquen estructuras que puedan alojar ℵ₁ elementos. Y en general, los ℵ_n ordinales de la Clase n+1 son los que identifican estructuras que pueden alojar ℵ_n–1 elementos (n > 0).
   Pero volvamos a la Clase II que, salto al límite mediante, acabábamos de abordar. ¿Cómo seguimos? Dando los mismos pasos que antes de dar aquel salto (recursión transfinita, que le dicen):

ω (= ω+0),    ω+1,    ω+2,    ω+3, ...

   De nuevo, dar otro paso no nos saca de ahí; dar un nuevo salto al límite de esa sucesión infinita, sí. Así llegamos a ω+ω, que es ω×2, que inaugura otra sucesión infinita de ordinales consecutivos:

ω×2,    (ω×2)+1,    (ω×2)+2,    (ω×2)+3,    (ω×2)+4, ...

   Otro salto al límite nos deja en (ω×2)+ω = ω+ω+ω = ω×3, que inaugura otra sucesión infinita de ordinales finitos que se le suman. Podemos prever que esto se repetirá infinitamente, es decir: podemos seguir la serie infinita de esos ordinales límite (ω×2, ω×3, ω×4, ω×5, ...) y saltar a su límite (ω×ω = ω²). La distancia que hay entre ellos no es 0, como entre términos consecutivos, sino ω: entre ω×2 y ω×3, por ejemplo, está la serie de ordinales sucesores terminados en sumas que desplegué arriba.
   Como cada límite de cada serie abre una serie nueva inmediata y participa de otras series mediatas, los atajos se encabalgan. Y entonces podemos decir, sin necesidad de cursar una infinidad de sumas y multiplicaciones, que el límite ω² participa de la serie de límites que sigue con ω³, ω⁴, ω⁵, ... y salta a ω^ω.

5.1 Zoom in

   Los atajos son ideales para avanzar rápido, tal vez a la mayor velocidad posible, y para eso los usaremos más adelante, cuando hagamos zoom out sobre el paraíso de Cantor. Pero también pueden dejarnos sin ver el arrastre que trae consigo ω^ω, su grado de complejidad. Para verlo, hagamos un zoom in y distingamos los tipos de límite involucrados hasta ese, que es el límite de lo que llamaré el Ciclo 1.
   Si empezamos apilando las infinitas sucesiones infinitas (o listándolas, si la primera va arriba), el primer límite "horizontal" es ω; el segundo, ω×2; el tercero, ω×3; etc. Siguiendo la serie de estos ordinales límite (separados por 1 progresión infinita), saltamos por el borde derecho de un cuadrado infinito al primer límite "vertical": ω×ω = ω². El segundo será ω²×2; el tercero, ω²×3; siguiendo la serie de estos límites verticales (separados por infinitas progresiones infinitas), tenemos el primer límite "diagonal": ω²×ω = ω²⁺¹ = ω³. Veamos primero el desarrollo del Ciclo 1 y después su dibujo.



   Cada salto al límite se hace cargando consigo a los anteriores. En ω tenemos el primer límite horizontal (L_H), el de la progresión de ordinales consecutivos [0, 1, 2, 3,...]. En ω² tenemos el primer límite vertical (L_V), el de la progresión ω de límites horizontales [ω, ω×2, ω×3, ω×4,...], cada uno límite de una progresión ω de ordinales consecutivos. En ω³ tenemos el primer límite diagonal (L_D), el de la progresión ω de límites verticales [ω², ω²×2, ω²×3, ω²×4,...], cada uno límite de una progresión ω de límites horizontales [ω, ω×2, ω×3, ω×4,...], cada uno límite de una progresión ω de ordinales consecutivos. Y así siguiendo hasta saltar a ω^ω, límite del Ciclo 1 (o primer límite de Ciclos):



   Volvimos a llegar a ω^ω. Pero esta vez vamos a ir un poco más allá, para apreciar la parsimonia del crecimiento. El límite del Ciclo 2 apenas replica (duplica) esa estructura:



   La acumulación de límites (horizontales, verticales, diagonales, etc.) continúa de esta manera en el Ciclo 2:



   Así como el ordinal que le sigue a ω es ω+1, la potencia que le sigue a ω^ω es ω^ω+1, que nos será dada por el límite de la sucesión de los ciclos:

Límite del Ciclo 1:
Límite del Ciclo 2:
Límite del Ciclo 3:
Límite del Ciclo 4:
···
Límite de la Ronda 1 de Ciclos:

ω^ω
ω^ω ×2
ω^ω ×3
ω^ω ×4
···
ω^ω ×ω = ω^ω+1

   Del mismo modo que el límite del Ciclo 2 nos daba una segunda vez la potencia obtenida en el límite del Ciclo 1, el límite de la segunda ronda de ciclos nos da una segunda vez la potencia ω^ω+1; y el límite de la n-ésima ronda dará por n-ésima vez la misma potencia. En el límite de la sucesión de rondas de ciclos se obtiene la potencia inmediatamente superior a la que i­nauguró la sucesión: ω^ω+2.

Límite de la Ronda 1 de Ciclos:
Límite de la Ronda 2 de Ciclos:
Límite de la Ronda 3 de Ciclos:
Límite de la Ronda 4 de Ciclos:
···
Límite de la Tanda 1 de Rondas:

ω^ω+1
ω^ω+1 ×2
ω^ω+1 ×3
ω^ω+1 ×4
···
ω^ω+1 ×ω = ω^ω+2

   En el límite de la sucesión de tandas de rondas de ciclos se obtiene la potencia siguiente.

Límite de la Tanda 1 de Rondas:
Límite de la Tanda 2 de Rondas:
Límite de la Tanda 3 de Rondas:
Límite de la Tanda 4 de Rondas:
···
Límite de la Serie 1 de Tandas:

ω^ω+2
ω^ω+2 ×2
ω^ω+2 ×3
ω^ω+2 ×4
···
ω^ω+2 ×ω = ω^ω+3

   Así, en general, en el límite de las repeticiones infinitas de una potencia dada se obtiene la potencia inmediatamente superior.
   Para Bajtín, no hay enunciado que se dé fuera de un género discursivo ni ǵenero discursivo que se dé fuera de alguna esfera de la comunicación ni esfera de la comunicación que se dé fuera de alguna sociedad. Acá es igual, pero anidando infinitamente: no hay salto al límite (horizontal, vertical, diagonal, transversal, etc.) que no per­tenezca a algún ciclo de saltos; ciclo que no pertenezca a alguna ronda de ciclos de saltos; ronda que no pertenezca a alguna tanda de rondas de ciclos de saltos; y así siguiendo, sin una instancia única en su tipo, la última, la definitiva: sin una estructura absoluta, un continente de todo no contenido por nada. La apertura del paraíso de Cantor es inclausurable.

5.2 Zoom out

   Llegó el momento del zoom out. Armemos un recorrido por los ordinales vistos hasta ahora con la siguiente instrucción para cursar series infinitas (progresiones ω: x, x, x, x,...): ahí donde se deba caminar (ir paso a paso), caminemos; ahí donde se pueda saltar (ir de salto en salto), saltemos.

   Aunque esté involucrado, no me refiero al salto al límite necesario para salir por arriba del laberinto de la línea infinita, el salto que nos saca de una serie para ponernos en el comienzo de la que le sigue. Me refiero a dos tipos de avance dentro de una sucesión infinita: a través de términos consecutivos (ordinales sucesores) o de términos no consecutivos (ordinales límite).
   Está involucrado porque ser un ordinal límite es ser un ordinal al que se ha accedido saltando desde una sucesión infinita (la predecesora inmediata, si sus ordinales son consecutivos; una mediata, si no lo son).

   Redundo en la consigna: no dejemos ningún atajo sin tomar, o dejemos pocos; cada viaje infinito tendrá el mismo número de movimientos, ℵ_o: aprovechemos cuando pueda abarcar el mayor número de estructuras intermedias. Avancemos sumando cuando haya que sumar y multiplicando y elevando cuando se pueda multiplicar y elevar.
   El primer viaje infinito es por ordinales consecutivos, los finitos, que forman la Primera Clase Numérica: 0, 1, 2, 3,... Saltamos a su límite, ω, nuestro segundo hito (si el primero fue 0, el inicio) y donde empieza nuestro segundo viaje infinito, también por ordinales consecutivos: ω+1, ω+2, ω+3, ω+4,... Si quisiéramos homogeneizar la sucesión, a ω lo expresaríamos como ω+0; un nombre le conviene a su condición de límite y el otro a su condición de primer término de la nueva serie, cuyo límite es ω+ω (aka ω×2).
   El tercer viaje infinito ya puede hacerse por ordinales no consecutivos: en vez de avanzar paso a paso con (ω×2)+1, (ω×2)+2, (ω×2)+3..., podemos sobreentenderlo, seguir por ω×3, ω×4, ω×5... y desembocar en ω×ω, que como cabeza de serie conviene llamar ω². Así empieza el cuarto viaje infinito, que es el segundo que haremos (porque podemos) por términos no consecutivos: ω², ω³, ω⁴..., que nos dejará en ω^ω, el tercer hito del recorrido.

   Antes de seguir, demorémonos en la diferencia que hay entre series efectivas y series virtuales. Las efectivas son tramos del recorrido real; por ejemplo, las citadas [ω, ω+1, ω+2,...], [(ω×2)+1, (ω×2)+2, (ω×2)+3,...] —cuyos ordinales son consecutivos— y [ω², ω³, ω⁴,...] —cuyos ordinales no son consecutivos—.
   ω es igual a ω+0, por lo que participa de la primera de las tres series. Pero también es igual a ω×1 y a ω¹ (del mismo modo en que 5 es igual a 5×1 y a 5¹) y sin embargo en el recorrido efectivo, que nunca retrocede, no encontramos a ω encabezando las otras dos series: los predecesores de ω×2 (= ω+ω) son los ordinales sucesores de la serie [ω, ω+1, ω+2,...]; y ω² (= ω×ω) está precedido por la serie de ordinales límite [ω×2, ω×3, ω×4,...]. Por lo tanto, las series [ω, ω×2, ω×3,...] y [ω, ω², ω³,...], con ω colado adelante, son virtuales.
   Lo mismo les pasa a los otros hitos del recorrido: sólo en su debut participan de (encabezan) series efectivas; en el resto de las igualdades su participación es virtual: se acoplan retrospectivamente a la cabeza de una serie real que empezó sin ellos. ¿Y cuáles son los hitos de este tramo del viaje?

   Los hitos son el primer ordinal finito (el 0), el primer ordinal transfinito (ω), y las potencias ω-ésima, ω^ω-ésima, ω^ωω-ésima, etc., del ordinal ω. Cada hito es cabeza de tantas series homogéneas de ordinales como igualdades superfluas presenta (de la primera serie es cabeza efectiva; de las otras, virtual). Así, el 0 es cabeza de 1 serie, ya que sólo es igual a sí mismo; ω es cabeza de 3 series; ω^ω, de 5; ω^ωω, de 7; etc. Las primeras cuatro igualdades son estas:

0 = 0

ω = ω+0, ω×1, ω¹

ω^ω = ω^ω+0, ω^ω×1, ω^ω+0, ω^ω×1, ω^ω1

ω^ωω = ω^ωω+0, ω^ωω×1, ω^ωω+0, ω^ωω×1, ω^ωω+0, ω^ωω×1, ω^ωω1

   Son todas operaciones que no varían el punto de partida, que es cada hito; cualquier número sumado a 0, multiplicado por 1 o elevado a la 1 da el mismo número. Por esto les pongo superfluas, pero con igual o mayor derecho podría ponerles "proféticas": esas igualdades, encabecen su serie de manera efectiva (la primera) o virtual (las otras), anticipan por dónde se desarrollará el viaje, el patrón que seguirá.
   Como la cantidad de igualdades superfluas/proféticas y de series encabezadas crece al ritmo de los impares (1, 3, 5, 7,...), éstos pueden ponerse en correspondencia 1 a 1 con los hitos, de paso que les cuantifican las igualdades. Por lo tanto, hay tantos hitos así (tantas potencias de ω a la ω) como enteros impares: ℵ_o.
   Reanudemos el viaje:



   Como puede apreciarse, las sucesiones con términos consecutivos (paso a paso por ordinales que, salvo el primero, no son el límite de una serie infinita) son sólo la primera serie de cada hito y de cada sub-hito; discurren como por los techos del gráfico. Sin pintar quedaron las otras, las sucesiones con términos no consecutivos (salto a salto por ordinales que son el límite de una serie infinita, omitida —pero implicada— en el atajo).
   La relación entre los hitos (o sub-hitos) y las series que ellos encabezan (efectivamente, la primera; virtualmente, las otras) está representada por un racimo de flechas. Pero el viaje no se desvía por ahí, ni va y vuelve: sigue derecho por las series hasta encontrar un borde del gráfico y bajar a la siguiente (los giros son didácticos: bien podrían ponerse todas las series en una larguísima línea, regulando su grado de vecindad con puntos suspensivos). Podríamos dibujar el trayecto sin levantar una sola vez el lápiz; con líneas rectas zigzagueantes, nos quedaría algo así:



   El barrido de ordinales hasta ω^ωωω dice lo mismo que el barrido de todas las fracciones: hasta ahí hay ℵ_o ordinales en la Primera más la Segunda Clase Numérica. (Es algo que ya nos había dicho la correlación 1 a 1 entre hitos y números impares.)
   ω ya se sumó a, se multiplicó por y se elevó a ω. Mientras no haya una cuarta operación, seguirá elevándose a la ω infinitamente. Por eso, el siguiente atajo —el último que se puede tomar por acá— es ir por la sucesión de hitos:

0,   ω,   ω^ω,   ω^ωω,   ω^ωωω, ...

   Cada hito es una altura del bucle ascendente que va construyendo el paraíso de Cantor en la región de los naturales y las omegas que se suman, multiplican y potencian. Y no, su serie no es la última. No hemos desembocado en un eterno y grácil bucle definitivo. Como siempre: esto recién empieza. La serie infinita de hitos tiene por límite un nuevo número ordinal de la Segunda Clase Numérica: ε_o (épsilon-cero). El paraíso de Cantor está contraindicado para gente ansiosa.
   Esa memebresía significa que también en una estructura ε_o pueden acomodarse ℵ_o elementos de un conjunto. Si se quiere ver un conjunto numerable así distribuido, bastará con ver el de ordinales que preceden a ε_o, ordenados de menor a mayor (el gráfico que hice abarca el inicio resumido de esa estructura, apenas hasta llegar al quinto hito).

5.3 ¡A la Clase III y más allá!

   Si sospechamos que en algún punto del viaje a ε_o le seguirá un ε₁, sospechamos bien. Si sospechamos que ε₁ será el primer ordinal de la Clase III, sospechamos mal. Pero con ε_o empieza la operación que nos llevará allá: subindizar.
   Así como la elevación infinita de ω a la ω “agota” la tercera operación y nos da un nuevo ordinal, la subindización infinita de ε_εo “agota” lo que se puede hacer con los números épsilon y nos da el ordinal que sigue a todos los de la Clase II: ω₁. Hay un nuevo bucle ascendente:

ε_o ,    ε_εo ,    ε_εεo ,    ε_εεεo ,    ε_εεεεo ...

   El límite de esta serie, ω₁, es el menor ordinal (y por lo tanto el primero) de la Clase III. Es el primer ordinal transfinito no precedido por ℵ_o ordinales; es el menor ordinal no numerable: identifica una estructura donde se distribuyen más de ℵ_o elementos; exactamente, ℵ₁ (por ejemplo, los del conjunto de los ordinales que preceden a ω₁).

   Un poco de aritmética transfinita. Da el mismo resultado pensar los predecesores de ω₁ como todos los ordinales de la Clase II o los de la unión (suma) de la Clase I, que son ℵ_o, y la Clase II, que son ℵ₁, porque ℵ_o + ℵ₁ = ℵ₁.
    La misma cuenta vale para el interior de la Clase II. Sabemos que toda la clase tiene ℵ₁ ordinales y que hay ℵ_o predecesores de ε_o, desde ω hasta ω^ωωω…. Por lo tanto, no puede haber ℵ_o números épsilon, porque entonces en la Clase II habría ℵ_o + ℵ_o = ℵ_o ordinales, no ℵ₁. Luego, hay ℵ₁ números épsilon de la Clase II, que sumados a los ℵ_o previos al primero repiten la cuenta ℵ_o + ℵ₁ = ℵ₁.

   ¿Cómo se llega al salto al límite que nos deja en ω₁ y deja atrás los ℵ₁ ordinales de la Clase II? Con paciencia y muchos atajos (razones didácticas hacen que sean más de los que podrían ser). En una primera etapa, la excursión nos llevará del inicio de la Clase I al de la III.
   Si lo que veremos abajo es una sucesión ordenada de series infinitas, en vez de una yuxtaposición arbitraria, es porque el ordinal inaugural de cualquiera es límite de la anterior (excepto el 0, que tiene 0 predecesores). No importa si los otros ordinales de la serie dan pasos o zancadas, o si son menos, igual o más rápidos que los predecesores del primero. Sólo importa que el primer ordinal de una serie sea el límite de la anterior, porque es así como se enganchan los eslabones de la cadena, los 27 tramos infinitos de este recorrido de 0 a ω₁:

0, 1, 2… ω, ω+1, ω+2… ω×2, ω×3, ω×4… ω², ω³, ω⁴… ω^ω, ω^ωω, ω^ωωω… ε_o, ε_o+1, ε_o+2… ε_o+ω, ε_o+(ω+1), ε_o+(ω+2)… ε_o+(ω×2), ε_o+(ω×3), ε_o+(ω×4)… ε_o+ω², ε_o+ω³, ε_o+ω⁴… ε_o+ω^ω, ε_o+ω^ωω, ε_o+ω^ωωω… ε_o+ε_o = ε_o×2, ε_o×3, ε_o×4… ε_o×ω, ε_o×(ω+1), ε_o×(ω+2)… ε_o×(ω×2), ε_o×(ω×3), ε_o×(ω×4)… ε_o×ω², ε_o×ω³, ε_o×ω⁴… ε_o×ω^ω, ε_o×ω^ωω, ε_o×ω^ωωω… ε_o×ε_o = ε_o², ε_o³, ε_o⁴… ε_o^ω, ε_o^ωω, ε_o^ωωω… ε_o^ε_o, ε_o^ε_oε_o, ε_o^ε_oε_oε_o… ε₁, ε₁^ε₁, ε₁^ε₁ε₁… ε₂, ε₃, ε₄… ε_ω, ε_ω+1, ε_ω+2… ε_ω×2, ε_ω×3, ε_ω×4… ε_ω², ε_ω³, ε_ω⁴… ε_ω^ω, ε_ω^ωω, ε_ω^ωωω… ε_εo, ε_ε1, ε_ε2… ε_εω, ε_εω^ω, ε_εω^ωω… ε_εεo, ε_εεεo, ε_εεεεo… ω₁

   Tal vez prefieran una marquesina:

0, 1, 2… ω, ω+1, ω+2… ω×2, ω×3, ω×4… ω², ω³, ω⁴… ω^ω, ω^ωω, ω^ωωω… ε_o, ε_o+1, ε_o+2… ε_o+ω, ε_o+(ω+1), ε_o+(ω+2)… ε_o+(ω×2), ε_o+(ω×3), ε_o+(ω×4)… ε_o+ω², ε_o+ω³, ε_o+ω⁴… ε_o+ω^ω, ε_o+ω^ωω, ε_o+ω^ωωω… ε_o+ε_o = ε_o×2, ε_o×3, ε_o×4… ε_o×ω, ε_o×(ω+1), ε_o×(ω+2)… ε_o×(ω×2), ε_o×(ω×3), ε_o×(ω×4)… ε_o×ω², ε_o×ω³, ε_o×ω⁴… ε_o×ω^ω, ε_o×ω^ωω, ε_o×ω^ωωω… ε_o×ε_o = ε_o², ε_o³, ε_o⁴… ε_o^ω, ε_o^ωω, ε_o^ωωω… ε_o^ε_o, ε_o^ε_oε_o, ε_o^ε_oε_oε_o… ε₁, ε₁^ε₁, ε₁^ε₁ε₁… ε₂, ε₃, ε₄… ε_ω, ε_ω+1, ε_ω+2… ε_ω×2, ε_ω×3, ε_ω×4… ε_ω², ε_ω³, ε_ω⁴… ε_ω^ω, ε_ω^ωω, ε_ω^ωωω… ε_εo, ε_ε1, ε_ε2… ε_εω, ε_εω^ω, ε_εω^ωω… ε_εεo, ε_εεεo, ε_εεεεo… ω₁


   El número cardinal del conjunto de ordinales de la Clase I (ℵ_o, mismo número de elementos distribuibles en cualquier estructura identificada por un ordinal de la Clase II, empezando por ω) es superado por el cardinal del conjunto de ordinales de la Clase II (ℵ₁, mismo número de elementos distribuibles en cualquier estructura de la Clase III, empezando por ω₁). Como pasamos de una clase a la siguiente, una cardinalidad transfinita es inmediatamente superior a la otra, como el 1 lo es del 0.
   Si con sólo dos tamaños transfinitos, ℵ_o y ℵ₁, se acumuló esa cantidad de tipos de orden, imaginate los que falta que se acumulen habiendo tantas alefs como números ordinales, que les proveen los subíndices. Imaginate los que habrá cuando lleguemos a la Clase Numérica que tiene ℵ_εεεεεo ordinales. Recién salimos de la que tiene ℵ₁, la II, y estamos por empezar a transitar la III.
   Viajando por el paraíso de Cantor no hay enormidad que al rato no resulte una miniatura (al rato = después de una infinidad de eternidades, si viajás en tiempo real).

   Recapitulemos. Hay 1 cardinal para cada ordinal de la Clase I porque los números finitos coinciden cuando indican un tamaño y cuando indican un tipo de orden (de los que son bien-ordenados, no de los otros). El cardinal 3 mide un trío de cosas y el ordinal 3 identifica el único tipo de orden que se puede hacer con 3 cosas, cualquiera sea la secuencia que se prefiera: una progresión finita, y no cualquiera (de cualquier longitud), sino sólo esta: x, x, x.
   En el resto de las clases numéricas, que involucran números transfinitos, por cada cardinal hay infinitos ordinales: para ℵ_o, los ordinales de la Clase II, que van de ω (= ω_o) a ω₁ (exclusive); para ℵ₁, los ordinales de la Clase III, que van de ω₁ a ω₂ (exclusive); para ℵ₂, los de la Clase IV, que van de ω₂ a ω₃ (exclusive); etc.
   Como se ve, un cardinal ℵ_n está asociado de un modo particular a un ordinal ω_n, que expresa la menor estructura que requiere ℵ_n elementos y encabeza la Clase n+2 de números ordinales.

   Retomemos el viaje; la próxima estación es ω₂.
   El sucesor inmediato de ω₁ es, por supuesto, ω₁+1, seguido de ω₁+2, etc. Si recursamos el camino que nos llevó hasta ahí, si repetimos todo el recorrido anterior pero anteponiendo «ω₁+» a cada ordinal, estaremos replicando ω₁, sumándolo (1 vez) a sí mismo, duplicándolo. Los últimos cinco tramos del ciclo son estos:

(...) … ω₁+ε_ω², ω₁+ε_ω³, ω₁+ε_ω⁴… ω₁+ε_ω^ω, ω₁+ε_ω^ωω, ω₁+ε_ω^ωωω… ω₁+ε_εo, ω₁+ε_ε1, ω₁+ε_ε2… ω₁+ε_εω, ω₁+ε_εω^ω, ω₁+ε_εω^ωω… ω₁+ε_εεo, ω₁+ε_εεεo, ω₁+ε_εεεεo… ω₁+ω₁ = ω₁×2

   Y así como hay un ordinal ω₁ (= ω₁×1) y otro ω₁×2, habrá un ω₁×3; yendo por ese y otros atajos, la Clase III continúa así:

ω₁×2, ω₁×3, ω₁×4… ω₁×ω, ω₁×ω^ω, ω₁×ω^ωω… ω₁×ε_o, ω₁×ε_εo, ω₁×ε_εεo… ω₁×ω₁ = ω₁², ω₁³, ω₁⁴… ω₁^ω, ω₁^ωω, ω₁^ωωω… ω₁^ε_o, ω₁^ε_εo, ω₁^ε_εεo… ω₁^ω₁, ω₁^ω₁ω₁

Desarrollo este límite: ω₁^ω₁, ω₁^ω₁×2, ω₁^ω₁×3… ω₁^ω₁×ω, ω₁^ω₁×ω^ω, ω₁^ω₁×ω^ωω… ω₁^ω₁×ε_o, ω₁^ω₁×ε_εo, ω₁^ω₁×ε_εεo… ω₁^ω₁×ω₁, ω₁^ω₁×(ω₁×2), ω₁^ω₁×(ω₁×3)… ω₁^ω₁×(ω₁×ω), ω₁^ω₁×(ω₁×(ω×2)), ω₁^ω₁×(ω₁×(ω×3))… ω₁^ω₁×(ω₁×ω²), ω₁^ω₁×(ω₁×ω³), ω₁^ω₁×(ω₁×ω⁴)… ω₁^ω₁×(ω₁×ω^ω), ω₁^ω₁×(ω₁×ω^ωω), ω₁^ω₁×(ω₁×ω^ωωω)… ω₁^ω₁×(ω₁×ε_o), ω₁^ω₁×(ω₁×ε_εo), ω₁^ω₁×(ω₁×ε_εεo)… ω₁^ω₁×ω₁², ω₁^ω₁×ω₁³, ω₁^ω₁×ω₁⁴… ω₁^ω₁×ω₁^ω, ω₁^ω₁×ω₁^ωω, ω₁^ω₁×ω₁^ωωω… ω₁^ω₁×ω₁^ε_o, ω₁^ω₁×ω₁^ε_εo, ω₁^ω₁×ω₁^ε_εεo… ω₁^ω₁×ω₁^ω₁ = (ω₁^ω₁)², (ω₁^ω₁)³, (ω₁^ω₁)⁴… (ω₁^ω₁)^ω, (ω₁^ω₁)^ωω, (ω₁^ω₁)^ωωω… (ω₁^ω₁)^ε_o, (ω₁^ω₁)^ε_εo, (ω₁^ω₁)^ε_εεo… ω₁^ω₁ω₁

, ω₁^{ω₁ω₁ω₁}… ω₂

   El ordinal ω₂ es el menor (y por lo tanto el primero) de la Clase IV, que cuenta con ℵ₃ ordinales, cada uno de los cuales identifica una estructura donde se acomodan ℵ₂ elementos. Saltando de ω₂ a ω₃, ω₄, etc., estaremos saltando de clase en clase (y, por lo tanto, de alef en alef, ya que hay una por clase). El atajo nos conducirá a un nuevo ordinal base:

ω₁, ω₂, ω₃… ω_ω, ω_ω^ω, ω_ω^ωω… ω_εo, ω_εo^εo, ω_εo^εoεo… ω_ε1, ω_ε2, ω_ε3… ω_εω, ω_εω^ω, ω_εω^ωω… ω_εεo, ω_εεεo, ω_εεεεo… ω_ω1, ω_ω2, ω_ω3… ω_ωω, ω_ωωω, ω_ωωωω… k

   Volvimos… a entrar en loop. La última serie trazada es otro bucle trascendente: la subindización infinita de ω (su potenciación infinita la había hecho el bucle que en la Clase II nos dejó en ε_o, cuya subindización infinita nos dejó en ω₁, el comienzo de la Clase III).
   El límite de la subindización infinita de ω es un nuevo ordinal, que llamo k porque lo leí en algún lado o porque lo inventé (creyendo haberlo leído en algún lado). Los nombres son convencionales (“A la grande le puse Cuca”); lo que importa es cómo se opera con los nuevos ordinales y de qué estructura participan (en qué nueva serie están, qué nuevo nivel de zoom out desbloquean).

Disclaimer
   A partir de acá sigo solo, a cuenta y riesgo. La bibliografía que consulté no llega tan lejos. Cantor, por ejemplo, en su desarrollo de los ordinales llega hasta el primero no enumerable (que identifica el tipo de orden de sus ℵ₁ predecesores), el menor de la Clase III, ω₁, al que llamó —y algunos aún llaman— Ω (omega mayúscula u omegón).

   Cantor también dejó establecido que cada clase numérica inmediatamente superior a otra mide un cardinal transfinito inmediatamente superior: ℵ_o, ℵ₁, ℵ₂… . Pero no construyó el camino de ordinales que nos conduzca a través de las clases númericas más allá del comienzo de la III.

   Para reducir el riesgo intento hacer bien las cuentas. Las que hago me llevan a ciertos callejones sin salida de los que, cual laberintos, se sale por arriba. Sin metáforas: son sucesiones infinitas cuyos límites no pueden ser un ordinal anterior o un compuesto de ordinales anteriores; deben trascender el tipo de ordinales de la sucesión, ser una novedad numérica.
   La primera sucesión callejón es la de los ordinales finitos 0, 1, 2, 3…, cuyo límite es una novedad por fuera de la sucesión: el transfinito ω. La segunda sucesión callejón es la potenciación infinita de ω, cuyo límite trascendente —demostró Cantor— es ε_o (repito: “trascendente” porque es un nuevo tipo de ordinal, después de sólo finitos y omegas):

ω^ω , ω^ωω , ω^ωωω … ε_o

   Un callejón sin salida desconocido (al menos para mí) es la subindización infinita de ω, cuyo límite —arriesgo— es un nuevo tipo de ordinal:

ω_ωω, ω_ωωω, ω_ωωωω… k

   Al igual que ε_o, k es distinto a aquellos ordinales de los que deriva: es un ordinal trascendente, una novedad de tipo (y no sólo de magnitud).
   Pero a diferencia de ε_o, k —arriesgo muuucho más— refleja a ω: pasará por todas las vicisitudes de ω (incluyendo épsilons propios), sólo que tardando muchísimo más para ir de una a otra (cuanto más alto es un ordinal, más pesada es su herencia).
   Hacia allá vamos. Pero recuerden que desde k y en lo que sigue, puedo estar errando, puedo estar inventando la pólvora, o ninguna de las dos cosas. Ordené los tres escenarios de mayor a menor probabilidad.

6. Ciclos, mega-ciclos, mega-megaciclos…

   Empalmando los tramos, el desfile mántrico de 0 a k fluye así:

0, 1, 2… ω, ω+1, ω+2… ω×2, ω×3, ω×4… ω², ω³, ω⁴… ω^ω, ω^ωω, ω^ωωω… ε_o, ε_o+1, ε_o+2… ε_o+ω, ε_o+(ω+1), ε_o+(ω+2)… ε_o+(ω×2), ε_o+(ω×3), ε_o+(ω×4)… ε_o+ω², ε_o+ω³, ε_o+ω⁴… ε_o+ω^ω, ε_o+ω^ωω, ε_o+ω^ωωω… ε_o+ε_o = ε_o×2, ε_o×3, ε_o×4… ε_o×ω, ε_o×(ω+1), ε_o×(ω+2)… ε_o×(ω×2), ε_o×(ω×3), ε_o×(ω×4)… ε_o×ω², ε_o×ω³, ε_o×ω⁴… ε_o×ω^ω, ε_o×ω^ωω, ε_o×ω^ωωω… ε_o×ε_o = ε_o², ε_o³, ε_o⁴… ε_o^ω, ε_o^ωω, ε_o^ωωω… ε_o^ε_o, ε_o^ε_oε_o, ε_o^ε_oε_oε_o… ε₁, ε₁^ε₁, ε₁^ε₁ε₁… ε₂, ε₃, ε₄… ε_ω, ε_ω+1, ε_ω+2… ε_ω×2, ε_ω×3, ε_ω×4… ε_ω², ε_ω³, ε_ω⁴… ε_ω^ω, ε_ω^ωω, ε_ω^ωωω… ε_εo, ε_ε1, ε_ε2… ε_εω, ε_εω^ω, ε_εω^ωω… ε_εεo, ε_εεεo, ε_εεεεo… ω₁, ω₁×2, ω₁×3… ω₁×ω, ω₁×ω^ω, ω₁×ω^ωω… ω₁×ε_o, ω₁×ε_εo, ω₁×ε_εεo… ω₁×ω₁ = ω₁², ω₁³, ω₁⁴… ω₁^ω, ω₁^ωω, ω₁^ωωω… ω₁^ε_o, ω₁^ε_εo, ω₁^ε_εεo… ω₁^ω₁, ω₁^ω₁ω₁, ω₁^{ω₁ω₁ω₁}… ω₂, ω₃, ω₄… ω_ω, ω_ω^ω, ω_ω^ωω… ω_εo, ω_εo^εo, ω_εo^εoεo… ω_ε1, ω_ε2, ω_ε3… ω_εω, ω_εω^ω, ω_εω^ωω… ω_εεo, ω_εεεo, ω_εεεεo… ω_ω1, ω_ω2, ω_ω3… ω_ωω, ω_ωωω, ω_ωωωω… k


   Si repetimos todo lo anterior pero agregando a cada ordinal el prefijo «k+», tendremos otra vez k, o sea, k+k = k×2. Entonces:

k×2, k×3, k×4… k×ω, k×ω^ω, k×ω^ωω… k×ε_o, k×ε_εo, k×ε_εεo… k×ω₁,

k×ω₁×2, k×ω₁×3… k×ω₁×ω, k×ω₁×ω^ω, k×ω₁×ω^ωω… k×ω₁×ε_o, k×ω₁×ε_εo, k×ω₁×ε_εεo… k×ω₁×ω₁ = k×ω₁², k×ω₁³, k×ω₁⁴… k×ω₁^ω, k×ω₁^ωω, k×ω₁^ωωω… k×ω₁^ε_o, k×ω₁^ε_εo, k×ω₁^ε_εεo… k×ω₁^ω₁, k×ω₁^ω₁ω₁, k×ω₁^{ω₁ω₁ω₁}…

k×ω₂, k×ω₃… k×ω_ω, k×ω_ω^ω, k×ω_ω^ωω… k×ω_εo, k×ω_εo^εo, k×ω_εo^εoεo… k×ω_ε1, k×ω_ε2, k×ω_ε3… k×ω_εω, k×ω_εω^ω, k×ω_εω^ωω… k×ω_εεo, k×ω_εεεo, k×ω_εεεεo… k×ω_ω1, k×ω_ω2, k×ω_ω3… k×ω_ωω, k×ω_ωωω, k×ω_ωωωω… k×k = k², k³, k⁴… k^ω, k^ωω, k^ωωω… k^ε_o, k^ε_εo, k^ε_εεo… k^ω₁, k^ω₂, k^ω₃… k^ω_ω, k^ω_ωω, k^ω_ωωω… k^k, k^kk, k^kkk… ζ_o

   El ordinal que llamo ζ_o (ζ —zeta— es la letra griega que sigue a épsilon) es el límite del bucle de la potenciación infinita de k. Como va a pasarle lo que a ω, el siguiente bucle que protagonice k será el de su subindización infinita, cuyo límite será un nuevo ordinal.
   Pero antes habrá
• un bucle de potenciación de ζ_o, cuyo límite será ζ₁ (cuya elevación infinita tendrá por límite ζ₂, etc.);
• otro bucle de subindización de ζ_ζo, cuyo límite será k₁ (como pasó con ω, k era k_o);
• y otro bucle de potenciación de k_n(≥1) (o sea, k₁ y superiores), que nos da un ordinal k_n+1.
   Sigamos:

k₁, k₂, k₃… k_ω, k_ω^ω, k_ω^ωω… k_εo, k_εεo, k_εεεo… k_ω1, k_ω2, k_ω3… k_ωω, k_ωωω, k_ωωωω… k_k, k_kk, k_kkk… m

–¿Por qué con M? –preguntó Alicia.
–¿Por qué no? –dijo la Liebre de Marzo.

Lewis Carroll, Aventuras de Alicia en el País de las Maravillas, Capítulo VII “Una merienda de locos”. Traducción de Eduardo Stilman para Los libros de Alicia, Ediciones de la Flor, Buenos Aires, 1998; página 78.

   Al nuevo ordinal llamalo m o como prefieras. Otra vez, lo que importa es de dónde viene, cómo sigue y de qué está formando parte. De dónde viene ya sabemos y de qué está formando parte lo sabremos cuando veamos cómo sigue. Para eso, habrá que tener en cuenta esta nueva igualdad (o deriva). Repasemos las que se han acumulado hasta acá:

Potenciación infinita de ω:
ω^ωωω… = ε_o

Potenciación infinita de ε_n → ε_n+1:
ε_o^{ε_oε_oε_o…} = ε₁   ,   ε₁^{ε₁ε₁ε₁…} = ε₂   …

Subindización infinita de ε_εo:
ε_εεεo… = ω₁

Potenciación infinita de ω_n(≥1) → ω_n+1:
ω₁^{ω₁ω₁ω₁…} = ω₂    ,    ω₂^{ω₂ω₂ω₂…} = ω₃   …

Subindización infinita de ω:
ω_ωωω… = k


Potenciación infinita de k:
k^kkk… = ζ_o

Potenciación infinita de ζ_n → ζ_n+1:
ζ_o^{ζ_oζ_oζ_o…} = ζ₁    ,    ζ₁^{ζ₁ζ₁ζ₁…} = ζ₂     …

Subindización infinita de ζ_ζo:
ζ_ζζζo… = k₁

Potenciación infinita de k_n(≥1) → k_n+1:
k₁^{k₁k₁k₁…} = k₂    ,    k₂^{k₂k₂k₂…} = k₃   …

Subindización infinita de k:
k_kkk… = m

   ¿Cómo sigue m? Si no erré las cuentas, si no derrapé en las derivas, si no sucumbí al canto de las simetrías, m seguirá como siguió k, que siguió como siguió ω.
   Si los nombres de los ordinales base se eligiesen mirando este patrón, no se llamarían ω, k, m…, sino a, b, c… o cero, uno, dos… . Pasaríamos de nombres inconexos a nombres seriales.
   Pero como los ordinales base k y m son una repetición del ordinal base ω, también los podríamos llamar ω′ y ω″ (omega prima y omega prima prima). Y podríamos anotarlos, para ahorrar primas, como ω′¹ y ω′² (si ya ω′⁹ se escribe y lee mucho más fácil que ω′′′′′′′′′, imaginate con ω′^1.312.000). Por lo mismo, en vez de hablar de ζ_o (que como letra siguiente a épsilon ya expresaba una secuencia que k no), podríamos hablar de ε_o′ (épsilon sub cero prima).
   Tanto los nombres cero, uno, dos… como los nombres ω′⁰, ω′¹, ω′²… vinculan cada ordinal base con un ordinal (adjetivo numeral o número de repetición de ω mediante). Pero los segundos nombres hacen algo que no hacen los primeros: revelan que hay una nueva operación, que genera ordinales base al cabo de cinco derivaciones, cinco saltos, cada uno sacándonos de la encerrona de un loop perpetuo (a los pasos y los saltos se agregan estos hipersaltos al límite, que para Cantor deberían ser —pero no son— el tercer principio de generación de ordinales).
   Los dos ciclos anteriores, entonces, ahora se ven como algo que le pasa al mismo coso (llamado ω), que después de sumarse, multiplicarse, potenciarse y subindizarse empieza a reproducirse (“It's alive!”). Helo aquí:

Potenciación infinita de ω:
ω^ωωω… = ε_o

Potenciación infinita de ε_n → ε_n+1:
ε_o^{ε_oε_oε_o…} = ε₁   ,   ε₁^{ε₁ε₁ε₁…} = ε₂   …

Subindización infinita de ε_εo:
ε_εεεo… = ω₁

Potenciación infinita de ω_n(≥1) → ω_n+1:
ω₁^{ω₁ω₁ω₁…} = ω₂    ,    ω₂^{ω₂ω₂ω₂…} = ω₃   …

Subindización infinita de ω:
ω_ωωω… = ω′ (= ω′¹)



Potenciación infinita de ω′:
ω′^{ω′ω′ω′…} = ε_o′

Potenciación infinita de ε_n′ → ε_n+1′:
ε_o′^{ε_o′ε_o′ε_o′…} = ε₁′    ,    ε₁′^{ε₁′ε₁′ε₁′…} = ε₂′     …

Subindización infinita de ε_εo′:
ε_εεεo…′ = ω₁′

Potenciación infinita de ω_n(≥1)′ → ω_n+1′:
ω₁′^{ω₁′ω₁′ω₁′…} = ω₂′    ,    ω₂′^{ω₂′ω₂′ω₂′…} = ω₃′   …

Subindización infinita de ω′:
ω′_{ω′ω′ω′…} = ω″ (= ω′²)

   El número de prima es una marca de repetición, un número de ciclo, como los anillos de un árbol. Un ordinal base (ω o k o m… o la repetición 0 ó 1 ó 2… de ω) es un ordinal límite especial: sólo ellos inician un ciclo de estos. Su serie es un bucle de bucles.
   Aunque cada ciclo tenga los mismos cinco hitos de crecimiento, en el ciclo de ω′² están enormemente más separados por ordinales acumulados que en el ciclo de ω′¹, que a su vez los tiene mucho más separados de lo que están en el ciclo de ω.
   En el paraíso de Cantor, el arcángel llevaría la cuenta de los ciclos del Eterno Retorno con números ordinales base y cada retorno demoraría mucho más que el anterior.

6.1 La carrera

   Las prevenciones nunca serán muchas. Si las cuentas están bien hechas, si las primas son legítimas y si todo queda en familia (no hay k, m ni ningún otro ordinal base que no sea ω o alguna prima suya), entonces (y sólo entonces, y quizás ni siquiera) los ordinales

0, 1, 2… ω+1, ω+2, ω+3… ω×2, ω×3, ω×4… …

se habrán subido al ordinal ω en calidad de números de prima como ya los sabíamos colgados del cardinal ℵ en calidad de subíndices:

ℵ_o, ℵ₁, ℵ₂… ℵ_ω, ℵ_ω+1, ℵ_ω+2… ℵ_ω×2, ℵ_ω×3, ℵ_ω×4… …

   La carrera entre alefs (Aquiles), ordinales base (la tortuga) y ordinales (un rayo de luz), arranca pareja para los primeros dos competidores, que debutan cuando los ordinales acumulan su primera infinitud. Tabla de posiciones hasta acá: primeros, los ordinales (hay ℵ_o en la sucesión 0, 1, 2, 3…); últimos cómodos y empatados, infinitamente lejos de la punta, están los ordinales base (hay 1: ω = ω′^o) y las alefs (hay 1: ℵ_o).
   Mientras los ordinales siguen creciendo de a infinitos, paso a paso y salto a salto, la segunda alef, ℵ₁, tendrá que esperar que se acumulen los ordinales que preceden a ω₁; la tercera alef, ℵ₂, tendrá que esperar que se acumulen los que preceden a ω₂; y así (los subíndices de omegas y alefs practican nado sincronizado).
   Pero el segundo ordinal base, ω′¹, tendrá que esperar mucho más. Para ese momento habrá infinidad de infinidades de alefs (empezando por las emparejadas con los ordinales ω_o, ω₁, ω₂, ω₃…), y ni hablar de ordinales (todos los que se acumulan hasta la subindización infinita de ω, inclusive).
   Y sin embargo, a la larga, los mismos ordinales discurrirán por el buen orden, por los subíndices de las alefs y por las primas de omega, parecería. En el paraíso de Cantor, parecería, siempre hay tiempo para llegar tarde.
   Pero las apariencias engañan. Porque llegado a un punto, no todo queda en familia: vamos a ver el primer ordinal superior a todas las primas. Es demasiado tardío para ellas, pero no para los otros competidores de la carrera: aún estará subindizando una alef y discurriendo por el buen orden, sólo que más allá de estos eternos retornos.
   Corolario: seguirá habiendo ordinales y alefs cuando ya no haya de estos ordinales base abriendo el camino, cuando la sexta operación y un nuevo hipersalto los hayan degradado de vanguardia a remolque.

6.2 Un nuevo ordinal

   Si las primas son legítimas y aceptamos la quinta operación, ω tiene una nueva igualdad superflua/profética, la quinta, y por lo tanto encabeza virtualmente una quinta sucesión infinita:

ω (= ω′^o), ω′¹, ω′², ω′³… ω′^ω

   El ordinal ω′^ω es el primer ordinal base transfinito, el que sigue a todas las primas finitas de ω (el omega de la nomenclatura de adjetivos numerales). Las siguientes series de ordinales base transfinitos reproducirán allá arriba, como vimos, las de ordinales transfinitos:

ω′^ω+1 , ω′^ω+2 , ω′^ω+3 … ω′^ω×2 , ω′^ω×3 , ω′^ω×4 … …

   Pero entonces la familia llegará de nuevo a la primera prima, límite de la subindización infinita de ω allá arriba:

ω′^ω_ω , ω′^ω_ωω , ω′^ω_ωωω … ω′^ω′ (= ω′^ω′1)

   Repetición de todas las repeticiones de ω. Luego de timideces como ω′^ω′2, ω′^ω′3, ω′^ω′4…, en ese segundo piso se repetirá lo que en el primero y volveremos a la subindización infinita de ω y su límite, ω′¹, que inaugurará el tercer piso. Si los ordinales base que designan las primas son ciclos, estos son megaciclos (ciclos de ciclos). Si los ciclos se acumulan desde el ordinal ω′, los megaciclos desde el ordinal ω′^ω′. Luego, la sucesión infinita

ω′^ω′ , ω′^ω′ω′ , ω′^{ω′ω′ω′} …

tiene por límite un nuevo ordinal, de un nuevo tipo, que trasciende (e incluye) los ciclos y megaciclos. Es el límite de la repetición de la repetición de la repetición… de ω. ¿Qué nombre le ponemos a este nuevo ordinal límite trascendente base de un nivel superior al del ω′?
   Antes de eso: ¿estamos nombrando otra vicisitud de ω (su sexta igualdad; las cinco anteriores: ω = ω+0, ω×1, ω¹, ω_o, ω′⁰) o estamos nombrando la primera vicisitud de un ordinal nuevo, el sucesor de ω y sus vicisitudes, en otra serie infinita de ordinales, que va por su segundo término?
   Creo que da igual, como hubiera dado igual seguir con ω, k, m… en vez de cambiarlos por ω, ω′¹, ω′²… . Y da igual literalmente: en ambos casos, las dos alternativas dan el mismo crecimiento del buen orden de los ordinales, pero con presentaciones diferentes. Una presenta las vicisitudes iterativas de un mismo ordinal, el primer transfinito, y la otra presenta ordinales diferentes para cada una de esas vicisitudes.
   En esta segunda alternativa, conviene elegirle al nuevo ordinal un nombre que connote su rol de sucesor de ω en esta nueva serie. Como es la última letra del alfabeto griego, sigamos con la primera. Entonces:

ω′^{ω′ω′ω′…} = α

   El ordinal α identifica 1 (una, la primera) repetición de la repetición de la repetición… de ω. La segunda lo sumará a sí mismo: α+ω′^{ω′ω′ω′…} = α+α = α×2. Y así siguiendo. A α le pasará, aunque con mucho más trabajo, todo lo que le pasó a ω. Y entonces β será el límite de la serie

α′^α′ , α′^α′α′ , α′^{α′α′α′} …

   Como se ve, en el paraíso de Cantor nunca dejamos de repetir ni de hacerlo mediante unidades (bloques) de repetición cada vez mayores.
   Si α es el grado 1 de este nuevo nivel de iteración (y β su grado 2, etc.), ω es su grado 0. Y esto es lo mismo que decir —primera alternativa— que ω tiene una sexta igualdad y que encabeza virtualmente una sexta sucesión infinita de ordinales y que es objeto de una sexta operación. ¿Cuál?
   Supongamos que la llamamos super-repetición. Voto denotarla con una doble prima, la que sigue a todas las primas simples (y las incluye). Por lo tanto, ω″ deja de poder significar ω′², como hasta ahora, y pasa a significar

ω′^{ω′ω′ω′…} = ω″ (= ω″¹)

   La sexta igualdad superflua de ω es ω″⁰, que encabeza virtualmente la sucesión ω″⁰, ω″¹, ω″²… . Y lo que en el otro esquema es β, en este es ω′′′, el ordinal límite de la sucesión infinita

ω″^ω″ , ω″^ω″ω″ , ω″^{ω″ω″ω″} …

   Para ser menos confuso podría haber elegido otro signo operativo para esta nueva iteración, como podría ser el signo de grado, pero entonces no se notaría el atajo que empieza a armarse:

ω′¹, ω′², ω′³… … ω″¹ , ω″², ω″³… … ω′′′¹, ω′′′², ω′′′³… …

   Como no era práctico yuxtaponer primas en lugar de usar un número que indique su longitud, no es práctico yuxtaponerlas para indicar el grado de iteración.
   Lo mejor es usar una prima acompañada de una suerte de número complejo, dos ordinales que hacen una coordenada: el primero dice el grado; el segundo, el ciclo dentro de ese grado.
   Por ejemplo:
    • el ordinal ω′^{(1, 3)} es el nuevo nombre de ω′³;
    • el ordinal ω′^{(2, 3)} es el viejo ω″³;
    • a ω′′′³ ahora lo llamaremos ω′^{(3, 3)}.
   Imaginate tener que escribir o leer ω′^{(ωω, 3)} de la otra manera. Como sea, las igualdades ω = ω′⁰, ω = ω″⁰, ω = ω′′′⁰, etcétera, ahora pueden expresarse como una sola, pero compleja: ω = ω′^{(0, 0)}.
   Pero nada nos limita a una complejidad binaria: si además de ciclos dentro de grados de iteración necesitamos significar, por ejemplo, ciclos dentro de grados dentro de ¿niveles? de iteración, un tercer número nos daría el nuevo dato y ω equivaldría también a ω′^{(0, 0, 0)}. “Y así”, diría Luni.

6.3 Despedida

   Recapitulemos. El paraíso de Cantor (el buen orden de los ordinales y de los cardinales que los llevan de subíndices) no se dirige a ningún callejón sin salida definitivo, un loop que comprenda todos los ordinales habidos y por haber. De todo presunto encierro cíclico se sale con un salto al límite, que nos da un ordinal superior a todos los involucrados en la sucesión infinita del loop.
   Esto vale por primera vez con el salto al límite que nos saca del milenario callejón sin salida de combinar dígitos del 0 al 9 (en el sistema decimal):

0, 1, 2, 3, … ω

   Y vale por segunda vez con la potenciación infinita del nuevo dígito (luego de haberse sumado a, multiplicado por y potenciado a los otros dígitos y a sí mismo):

ω^ω , ω^ωω , ω^ωωω … ε_o

   Omega, épsilon y los dígitos del 0 al 9 seguirán entreverándose en sumas, multiplicaciones, potenciaciones y, desde acá, subindizaciones, hasta que ω vuelve a acaparar la nueva operación superior:

ω_ωω , ω_ωωω , ω_ωωωω …

   Lo llamemos k u ω′, el ordinal de ese salto al límite es superior a los abarcados por esa sucesión (de hecho, por definición).
   Sólo si no pudiera encontrarse (o crearse) un ordinal superior podría decirse que en ese loop termina infinitamente el viaje por el paraíso de Cantor. Pero que toda sucesión infinita tenga su salto al límite (y que dicho ordinal límite integre —encabece— la siguiente sucesión infinita) implica que ninguna es la última.

   Cantor no diría que «creó» el paraíso que le agradece Hilbert; él diría que lo descubrió, que encontró las relaciones que lo forman. En su artículo ya citado, “Contribuciones a la fundamentación…”, Cantor usa de penúltimo epígrafe esta cita de Francis Bacon (Scripta in naturali et universali philosophia, Volumen 1, páginas 309-310):

«Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus.»
[“No le damos leyes al intelecto y a las cosas según nuestro arbitrio, sino que como escribas fieles anotamos y transcribimos las que anuncia y pronuncia la voz de la propia naturaleza.”]

   Encontrado o creado, «nadie nos sacará jamás» de ese paraíso porque no sería posible: no tiene salida; sólo entrada. Bienvenidos.