Disclaimer: este ensayo presupone conocimientos sobre números cardinales transfinitos, de los que hablé en los capítulos 1 y 2 del tríptico “Los transfinitos”.
1.
Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de contar que vio, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito» (vale también para el sistema de numeración que ideó Funes el memorioso, con «un número infinito de símbolos, uno por cada número entero»).
Para que una enumeración parcial integre el problema irresoluble tiene que ser infinita (si es finita, la enumeración es terminable y el problema inexistente). La parte es igual de problemática que el todo porque es igual de grande, paridad que está en la definición de conjunto infinito y en la fascinación del autor Borges, un fetichista de rarezas lógicas.
De todos modos el personaje encara la enumeración y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»). Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que pueden acompañar cualquier enumeración infinita).
Del mismo rango son los otros infinitos que inventa o comenta el autor Borges en toda su obra. Y lo afirmo incluso sabiendo que puede que no estén todos en esta lista; afirmo que si dejé alguno afuera, es un infinito enumerable:
-
• los infinitos circulares (el eterno retorno y su avatar tipográfico, la biblioteca periódica de Babel; la noche en que las mil y una se convierten en un ciclo);
• los infinitos ramificados (el jardín de bifurcaciones; la versión demiurga o divina de la novela regresiva de Herbert Quain April March, con «infinitas historias, infinitamente ramificadas»);
• los infinitos lineales que suman (la eternidad de “El inmortal”; la perpetuidad de “La duración del infierno”);
• los infinitos lineales que dividen (el libro de arena; el «laberinto griego que es una línea única, recta», que le pide Lönnrot a Scharlach para la próxima vez que lo mate);
• ¿etcétera?
En esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2ℵo miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2ℵo = 2ℵo imágenes.
Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, o son muchas pero finitas o son infinitas pero enumerables (o sea, ℵo); en cualquier caso, el resultado (el número de imágenes aléficas) es el mismo:
- n × 2ℵo = 2ℵo;
ℵo × 2ℵo = 2ℵo.
- 2ℵo × 2ℵo = 2ℵo.
2.
1ª edición (1949) y 2ª edición (1952) de El Aleph
Después de narrar los hechos, una Posdata del 1º de marzo de 1943 los actualiza y los comenta. A partir de ahí, al Aleph le sucede lo que sucede en el Aleph: es visto desde varios puntos. Cuatro se refieren a su nombre. El primero dice que «es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada», que supo ilustrar dos tapas. El segundo va del hebreo a la Cábala, para la cual «esa letra significa el En Soph, la ilimitada y pura divinidad». Me interesan en especial los dos últimos:
...se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.Empecemos por el final. Haya sido elegida por su carga paradojal o no, esta caracterización da un rasgo distintivo y definitorio de los números transfinitos; un todo finito siempre es mayor que cualquiera de sus partes.
Ese empate (anómalo, a ojos finitistas) vale para cualquier conjunto con cualquier tamaño infinito, de los infinitos que hay. ¿Sabía Borges que hay más de 1 (uno)? ¿Hasta dónde conoció, entendió o aceptó —en todo caso, hasta dónde manejó— los números transfinitos y la Teoría de Conjuntos («la Mengenlehre», que en el cuento traducido al inglés se convierte en la «Cantor's Mengenlehre»)?
En las décadas del 30 y del 40, Borges tiene algún conocimiento de Georg Cantor, de la Teoría de Conjuntos, de la definición de conjunto infinito (que presupone la «genial aceptación» de las igualdades parte-todo más allá de lo finito), de los números transfinitos y de la letra que usan. No es poco. Es mucho más de lo que puede decir la enorme mayoría de las personas de aquel momento, a más de 30 ó 40 años del suceso, y de hoy, a más de 120.En “Abenjacán el Bojarí, muerto en su laberinto”, cuando el matemático Unwin le dice a su amigo poeta: «opté por olvidar tus absurdidades y pensar en algo sensato», Dunraven lo chicanea: «En la teoría de los conjuntos, digamos».
Insisto en esto: la equipotencia transfinita todo-parte es una absurdidad y una insensatez si se la mira con el sentido común finitista, que está acostumbrado a que eso sea imposible. El problema no está en lo mirado, que sería algo anómalo, absurdo, insensato, paradójico, ilógico, etc.; el problema está en la mirada que produce e impone esas visiones.
Lo que dice el subrayado es cierto: Borges escribe «los números transfinitos», en plural. Sin embargo, siempre está hablando de 1 (un) tamaño infinito, siempre inmerso en la aventura de sus equipotencias contraintuitivas entre el todo y una parte infinita (deberían ser diferentes —se cree— y son iguales —se sabe—). Ni siquiera deja de manejar un tamaño único cuando ejemplifica esas equipotencias apelando a tamaños diferentes, porque no los diferencia.
La diferencia existe pero Borges no da cuenta de ella; no parece haberla registrado, incluso si tenía noticias de su existencia. ¿O la filtró por algún inescrutable motivo? Me cuesta muchísimo menos imaginarlo a Borges fuera de esa fiesta (aunque cerca, tal vez en la entrada) que adentro e indiferente. Cambio de metáfora: si así habló del afiche, imaginate lo que habría hablado de la película si la hubiera visto.
Una noticia de esa diferencia (y de la pluralidad de tamaños que implica) puede venir de los verdaderos nombres de los números cardinales transfinitos: no ℵ, sino ℵo, ℵ1, ℵ2, ... (luego de todas las ℵn vienen ℵω, ℵω+1, ℵω+2...). Borges pudo no haber conocido esto. O sí pero a la vez pudo haber tenido buenas razones de estilo para no ponerle —por ejemplo— ℵo a su bolita (perdón: a su «pequeña esfera tornasolada» con un diámetro «de unos dos o tres centímetros»).
Como sea, si Borges sabía que las alefs van numeradas, ya tenía un indicio de que hay tamaños infinitos superiores a otros: si hay un ℵo, será porque hay un ℵ1, mínimo. Pero en ningún lugar Borges menciona esta desigualdad ni expone el argumento que la demuestra, como sí hace con la igualdad todo-parte. Sabe poner en correspondencia 1 a 1 dos conjuntos infinitos, pero no da muestras de conocer la diagonal de Cantor, que frustra una correspondencia de esas.Por un lado, la ciencia ficción es un género más afín que el fantástico a los nombres numéricos. Por otro lado, le ponía ℵo y ahogaba las otras resonancias del nombre.
Además, ¿por qué ponerle ℵo, y no ℵ1 (si la Hipótesis del Continuo es verdadera y 2ℵo = ℵ1)? Y si de nombre no se pusiera sí o sí el talle del Aleph (el cardinal del conjunto de sus imágenes), ¿por qué no ponerle cualquier otro cardinal transfinito?
Te ahorrás aquel dilema (o este infilema) si usás el signo sin subíndice, haciendo de cuenta que alef hay una sola y las demás se quedan piolas.
Veámoslo exponer y usar su única fascinación con el concepto matemático de infinito, que es afín a su fascinación por opuestos que se igualan bajo cierta perspectiva: el todo y la parte pueden ir a la misma repisa del traidor y héroe de una causa nacional, del teólogo hereje y el ortodoxo, de la inglesa barbarizada y el bárbaro guerrero cooptado por la Ciudad, etcétera.
3.
Las dos últimas referencias a la letra que da nombre al Aleph apuntan a esa igualdad inesperada. La primera evoca una autorrepresentación por la que Borges se interesa en “Magias parciales del Quijote”: la tierra es el espejo y es el mapa del cielo como el mapa de Inglaterra que imagina Royce, hecho sobre una porción de su suelo, refleja todo el territorio, incluyendo a esa porción y por lo tanto al mapa mismo.
Para la segunda referencia, en “La doctrina de los ciclos” Borges le atribuye el argumento de esa equipotencia a Cantor; en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, a Russell; en todo lo demás coinciden palabra por palabra, con pocas salvedades:
La operación de contar no es otra cosa para él [Cantor] que la de equiparar series.
Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series.
Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casas que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los números naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares.
Al 1 corresponde el 2
La prueba es tan irrefutable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de tres mil dieciocho como números hay —sin excluir de éstos al tres mil dieciocho y sus múltiplos.
Al 3 corresponde el 4
Al 5 corresponde el 6, etcétera.
Al 1 corresponde el 3.018
Cabe afirmar lo mismo de sus potencias, por más que éstas se vayan rarificando a medida que progresemos.
Al 2 corresponde el 6.036
Al 3 corresponde el 9.054
Al 4 corresponde el 12.072, etcétera.
Al 1 corresponde el 3.018
Al 2 corresponde el 3.0182, el 9.108.324
Al 3 ..., etcétera.
Siglos antes, comparando las potencias de 2 y todos los enteros, Galileo interpretaba el mismo resultado de otra manera: esa equipotencia absurda entre la parte y el todo venía a demostrar que las nociones de igual que, mayor que y menor que no son aplicables a conjuntos infinitos, porque de hacerlo se desembocaría en ese sinsentido de partida (no parece muy virtuoso el círculo).
El primero que da vuelta esa interpretación (de sinsentido a rasgo definitorio) es también el primero que usa el término Menge (conjunto): Bernard Bolzano. Un alumno suyo publica en 1854, tres años después de su muerte, Paradojas del infinito, donde Bolzano da la definición de conjunto infinito que décadas después retomarán Dedekind y Cantor, y que Russell divulgará. Borges (en ambos ensayos) la glosa así:
Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita —verbigracia, la serie de los números naturales— es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas.En “La doctrina de los ciclos” agrega a continuación un paréntesis con la definición canónica:
(Mejor, para eludir toda ambigüedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales.)
4.
Borges tiene un pie en una concepción matemática del infinito y el otro en una filosófica. En ésta, no hay números no finitos con los que se pueda operar (y después de todo «los números no existen, [...] son meras ficciones lógicas»); lo que hay es «un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros» (las dos citas son de “Avatares de la tortuga”). En breve, a la corrupción y el desatino se unirá la descomposición.
Más allá de con qué pie pisa más fuerte, mi punto es que Borges no maneja una parte del concepto cantoriano de infinito: justo la parte que escapa del argumento finitista de que no es un número porque no hay más que 1 (una) magnitud así (en una serie no hay dos o más maneras de no tener un último término: todas son igualmente infinitas, se razona).
Galileo vio en la equipotencia todo-parte una demostración por el absurdo de la imposibilidad de que un conjunto infinito sea mayor, menor o igual que otro (o sea, de que les valga la ley de la tricotomía). Cantor demostró que sí puede y que debe, y mató la conclusión que Galileo había sacado de las irreprochables pruebas de equipotencia.Mientras asumíamos que el dominio de lo finito era el único, asumíamos que sus leyes eran universales. Por ejemplo: para todo todo, ninguna parte puede medir lo mismo. La conclusión se basa en información deficiente, pero es deductiva. Inductiva es una que se le parece; la cito del prólogo que Borges escribe para el libro Matemáticas e imaginación, de Edward Kasner y James Newman:
Horacio, para figurar lo imposible, habló de cisnes negros; mientras pulía su verso, tenebrosas bandadas de cisnes surcaban los ríos de Australia.El cisne negro del milenario sentido común finitista se llama Georg Cantor y viene durando más de 1 (un) siglo (suena a mucho, pero proporcionalmente no es tanto). Cantor abrió el cuadro de los números enteros positivos como Borges el del espacio, que va de la casa romana de Horacio a los cielos anacrónicamente australianos (de una punta a la otra y de un interior a un exterior). Entraron en cuadro los dos imposibles: el del reducto del poeta (los cisnes negros) y el del reducto finitista (las partes tan numerosas como el todo). Con Cantor, lo finito pasó de único a ínfimo, la Primera Clase Numérica de una infinidad.
Visto desde la Segunda Clase Numérica, el dato de que en una serie no hay dos o más maneras de no tener un último término significa que cualquier progresión infinita bien ordenada va a trazar el mismo dibujo: x, x, x, x... (el primer —y menor— tipo de orden transfinito, que es lo que designa el número ordinal ω).
A conclusión muerta, conclusión puesta: la tricotomía también rige para colecciones y estructuras infinitas. Si se entiende esto, se abandona la idea de que el infinito no es una magnitud o de que es sólo 1 (una), si es que no son dos formas de decir lo mismo.
Cuando la niegan es “porque infinito no es un número: es un concepto, una idea”, afirma José Luis Crespo. “¿Es una metáfora o es un número que existe de verdad?”, preguntará la hija de @__mer__ cuando crezca. Borges es más dramático: es una «palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad» (“La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”).
El símbolo del infinito idea-no-número es ∞. Si sólo hubiera 1 (un) tamaño infinito, lo que valiera para ℵ valdría para ∞, como en el video de Crespo. Ser el único particular de su tipo es ser un universal, como pretende ser un concepto. Al infinito talle único le pasa lo que a la sílaba de un monosílabo, que no es ni tónica ni átona: no es grande, chico ni mediano, es infinito (diría Galileo). El número viene a medir esas diferencias como la tilde viene a identificar la sílaba tónica distinguiéndola de las otras; sin esas diferencias no hay número como sin esta otra no hay palabra aguda.
Sin diferencias a medir, da lo mismo hablar del infinito como un concepto que como el único número no finito, la negatividad de un más allá; el ocho acostado le sienta bien. Pero el cuento no se llama “La Lemniscata”; se llama “El Aleph”. Cantor no se invitó solo; lo convocó Borges. Pasa que no lo dejó entrar del todo. Es como si hubiera contratado a un mago por la mitad de sus trucos, y encima la menos deslumbrante.Si no hay otras de la que distinguirla, no es tónica. Por eso los monosílabos no se tildan, salvo por razones diacríticas (de nuevo). No hay nada que distinguir cuando hay algo único. Sin dos no hay diferencia. Y bien vista, toda tilde es diacrítica (sea respecto de sílabas átonas o de palabras idénticas).
5.
Vuelvo a mi punto. Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto de la igualdad todo-parte, en la no equipotencia (deberían ser iguales —se cree— y son diferentes —se sabe—). Pienso que de haberla conocido y comprendido no se habría privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la igualdad entre infinitos que parecían diferentes.
Pero la cosa es más complicada. Por un lado, en el capítulo II (“Más allá del googol”) de Matemáticas e imaginación se exponen ambos golpes contraintuitivos del infinito matemático; si el prologuista Borges leyó y entendió el segundo, se llevó el secreto a la tumba. Lo mismo vale para el capítulo 8, “Números cardinales transfinitos”, de Introducción a la filosofía matemática (Bertrand Russell), libro que Borges referencia en los dos ensayos que tiene en Discusión sobre la carrera de Aquiles y la tortuga.
Por otro lado, Borges sí menciona conjuntos que tienen 2ℵo elementos. Hace lo mismo que Galileo (Salviati mediante): además de usar el conjunto de números naturales y subconjuntos suyos, ilustra la equipotencia transfinita todo-parte con el conjunto de puntos que hay en todo el universo y los que hay en cualquier porción suya. Escribe en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”:
La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar.Pero Borges, al igual que Galileo, no distingue estos conjuntos de 2ℵo puntos de otros conjuntos también infinitos pero inferiores. En “La doctrina de los ciclos” iguala uno denso (el de las ℵo fracciones que hay entre otras dos) con uno continuo (el de los 2ℵo puntos que hay entre otros dos):
¿Qué fracción enumeraremos después de 1/2? No 51/100 porque más cerca está 201/400; no 201/400 porque más cerca... Igual sucede con los puntos, según Georg Cantor. Podemos siempre intercalar otros más, en número infinito.La igualación es tácita, por omisión: si no agrega que esas infinitudes no miden igual, deja que se entienda que sí. ¿Es lo que cree? ¿Es algo que da por sentado? ¿Es algo que no cuestiona, o que ni siquiera ha llegado a plantearse? Creo que es más probable que no lo mencione porque lo desconoce que porque lo conoce y lo calla. No creo que silenciara algo así: es un freak conceptual de los que le gustan, que tienen el sabor paradojal de ser «absurdidades» establecidas por un rigor racional.
6.
Un rigor así deshace las «absurdidades» de Dunraven y al menos otras cinco. Pero a la equipotencia transfinita todo-parte Borges no la deshace: la usa para deshacer el eterno retorno (en “La doctrina de los ciclos”) y la persecución infinita (en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”). La primera demolición lo deja satisfecho:
El roce del hermoso juego de Cantor con el hermoso juego de Zarathustra es mortal para Zarathustra. Si el universo consta de un número infinito de términos, es rigurosamente capaz de un número infinito de combinaciones —y la necesidad de un eterno retorno queda vencida. Queda su mera posibilidad, computable en cero.La equipotencia transfinita usada para demoler a Zenón queda así:
Cada sitio ocupado por la tortuga guarda proporción con otro de Aquiles, y la minuciosa correspondencia, punto por punto, de ambas series simétricas basta para publicarlas iguales.Para decir la insatisfacción en que lo deja esta demolición, Borges da los argumentos de su consultado James:
James, sin recusar la superioridad técnica del contrario, prefiere disentir. Las declaraciones de Russell (escribe) eluden la verdadera dificultad, que atañe a la categoría creciente del infinito, no a la categoría estable, que es la única tenida en cuenta por él, cuando presupone que la carrera ha sido corrida y que el problema es el de equilibrar los trayectos.El creciente es un infinito potencial; el estable, un infinito actual (Cantor hablaba de infinito impropio y propio, respectivamente). Con el potencial nunca dejás de contar con números finitos; con el actual ya necesitás transfinitos. Dime qué rechazas y te diré hasta cuánto cuentas.
En la base de ese rechazo está este argumento: no hay una cantidad infinita de huellas acumuladas; hay un crecimiento ilimitado de cantidades finitas. El conjunto de hitos de la carrera es —y sólo puede ser— potencialmente infinito, porque siempre es —y sólo puede ser— actualmente finito, por grande que sea. No hay trayectos infinitos; hay una perpetua carrera. Si presupongo que ya ha sido corrida, eludo la verdadera dificultad del problema y tal vez lo contradigo, porque ese término es precisamente lo que no logra tener la carrera.
En el mismo ensayo, ya desestimada esta solución de la paradoja, Borges da su «opinión», que «corre el doble riesgo de parecer impertinente y trivial»: «Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo». Se explaya en “Avatares de la tortuga”, donde usa la paradoja como prueba o testimonio de que «hemos soñado el mundo [...] pero hemos consentido en su arquitectura tenues y eternos intersticios de sinrazón para saber que es falso». Ese sueño es un arte y «el arte —siempre— requiere irrealidades visibles»:
Admitamos lo que todos los idealistas admiten: el carácter alucinatorio del mundo. Hagamos lo que ningún idealista ha hecho: busquemos irrealidades que confirmen ese carácter. Las hallaremos, creo, en las antinomias de Kant y en la dialéctica de Zenón.*Si no puedes con ellos, únete a ellos. Hay hallazgos que pacifican o sanan. La salida idealista es otra manera de "solucionar" la paradoja, esta vez sin intentar deshacerla (o habiendo fracasado en el intento). Recordemos el peligro a conjurar.
Como buen vector del infinito, la perpetua carrera —vuelvo al otro ensayo— causa estragos acordes: atenta contra la realidad del espacio y del tiempo y hace que se alarmen de aventura por ella «la existencia en un cuerpo físico, la permanencia inmóvil, la fluencia de una tarde en la vida» (existir, permanecer, fluir: la pieza de un juego y sus dos movimientos). La culpa de que Zenón se porte así está clara:
Esa descomposición es mediante la sola palabra infinito, palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata.¡Como para no horrorizarse! El sueño de la razón produce monstruos y el del infinito paradojas explosivas. Y como ya se dijo, las paradojas (o inconsistencias o incoherencias) en la narrativa de Borges se resuelven: el orden siempre se reestablece en Ciudad Lógica.
7.
Por lo que fuere, Borges se maneja (como se manejaría) con la convicción, lúcida o ciega, de que el infinito es 1 (uno), incluso si es el tamaño (máximo) que distintos conjuntos pueden tener (entre ellos, una parte infinita y su todo). En cambio, un infinito mayor que otro ya son 2 (dos) infinitos: ya hay una jerarquía de tamaños más allá de los finitos, tamaños cuyos números cardinales ℵo, ℵ1, ℵ2... son tan reales o irreales como los cardinales 0, 1, 2...
Al decir del hotelero David Hilbert, esa jerarquía infinita de tamaños transfinitos es el paraíso que Cantor creó para nosotros y del que nadie nos podrá sacar. Salvo que no hayamos entrado, aun si hemos llegado a la entrada (sabiéndolo —como Moisés— o no). Como Galileo y casi todos, Borges desconoció esa exuberancia; en su lugar vio 1 (una) única ℵ. Quedó a 1 (un) paso del giro cantoriano.
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