La pared

«Si hubiese sido posible construir la Torre de Babel sin escalarla, se lo habría permitido.»

Franz Kafka, Aforismo 18, 9/11/1917. En Consideraciones acerca del pecado, el dolor, la esperanza y el camino verdadero (Buenos Aires, Ed. Alfa Argentina, 1975, pp. 23 y 59; traductor: Adrián Neuss).

Breve historia de la pared


1.

   Una raya que trazo con el dedo en la superficie del agua probablemente dure tanto como la acción de haberla trazado. Pero este no es el caso de la gran mayoría de las obras que ocupan el mundo. Los edificios suelen existir mucho más tiempo del que llevó construirlos. Los cuernitos en el retrato del candidato fueron dibujados en unos segundos y pueden persistir lo que una campaña política, si no más. En general, nuestro universo tarda muy poco en recibir a un nuevo huésped y mucho en despedirlo.
   Esta desproporción es un hecho que abunda, no un derecho que alguna legislación administre discrecionalmente entre los huéspedes. Ninguna ley hace que la duración de lo que existe dependa del tiempo que llevó hacerlo existir. Si nos rigiese una ley semejante que no fuese notoriamente generosa, las piezas de este mundo serían aún menos perdurables. Baste decir que estas letras ya no existirían si se hubiese dispuesto que durasen mil veces el tiempo de su inscripción.
   Un deseo de Luis Alberto Spinetta desplaza de la hoja impresa a la memoria del lector ese destino: en la “Advertencia” que precede a su poemario Guitarra negra, Spinetta propone que «se olvide cada palabra a medida que ella se lea».

2.

   Imaginemos un mundo en el que las obras o los efectos de una acción duren tanto como la acción misma. En ese mundo, un albañil empieza a levantar una pared a las 9 en punto de la mañana. El acto de colocar el primer ladrillo le lleva 4 segundos; por otros 4 segundos (hasta las 9:00:08), el ladrillo se mantendrá colocado. El albañil tarda 2 segundos en poner el siguiente ladrillo, que permanecerá por otros 2 segundos (nuevamente, hasta las 9:00:08). Son en ese momento las 9:00:06. Demora 1 segundo en agregar el tercer ladrillo (son entonces las 9:00:07); en 1 segundo más también éste dejará la pared. La velocidad del albañil se vuelve fabulosa. Al término de su jornada, en sólo 8 segundos habrá realizado un número infinito de operaciones, cada una de ellas en la mitad de tiempo que la anterior (4 segundos, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, etc.).
   Gracias a esta agenda de trabajo, la caducidad de los ladrillos ha quedado sincronizada; todos tienen la misma fecha de vencimiento, el mismo límite ceniciento. De ser posible, la pared crecerá hasta alcanzar la infinitud exactamente a las 9:00:08, que es el instante preciso en que sus ladrillos la abandonarán.

I. LA CONSTRUCCIÓN

1. La inmortalidad efímera de la pared

   La vida de la pared se va armando con intervalos que se acumulan. Como esa acumulación es infinita, esa existencia es interminable; como cada intervalo disminuye a la mitad de su predecesor, la pared no envejecerá más de 8 segundos. Ese lapso la encierra y la preserva.
   La tarea de colocar ladrillo tras ladrillo es necesariamente discontinua. Si el tiempo se plegase a ella, perdería su continuidad: avanzaría primero 4 segundos, y luego se detendría; reiniciaría la marcha por 2 segundos, y volvería a detenerse; y así siguiendo, con lo cual debería pasar una eternidad (la que acumularía una infinidad de pausas no decrecientes) más 8 segundos (los que sumarían los infinitos períodos de fluencia) antes de que dieran las 9:00:08. (Lo que dura una detención del tiempo, si es mayor que cero, es un segundo flujo de tiempo, que burla la unicidad del tiempo o hace absurdo su reposo; si es igual a 0, la postulación es ociosa.)*

Debo la idea de este paréntesis a la pregunta que un amigo, Pablo Martín Ruiz, se hizo ante la contratapa de un libro que especulaba con una detención del tiempo: «¿Qué quiere decir que el tiempo se detiene? ¿Cuánto tiempo se detiene el tiempo?».

   Pero los plazos del albañil no son los pasos del tiempo. El transcurso de la jornada se mide mejor con el progreso común de un segundero que con el cronograma vertiginoso de la construcción. Para decirlo de otro modo: el tiempo es indiferente a su división en infinitos intervalos; su avance no se distrae con ellos. Si el albañil puede realizar una tarea infinita en un lapso efímero, es gracias a que acelera sostenidamente su trabajo, y no gracias a que el tiempo desacelere el suyo. No es esta la historia de una alteración temporal.


2. Series y límites


1.

   Para empezar, situémonos en el decurso de la jornada, entre la aceleración frenética del albañil y el crecimiento parsimonioso de su obra.
   Llegar a las 9:00:08 no es en sí mismo imposible para la pared, porque no se trata de un hecho incoherente con su historia; al contrario: está previsto que suceda. Pero también es un hecho que está —por la propia lógica que lo hace posible— sistemáticamente postergado. La pared posee un derecho que no puede perder ni llegar a ejercer; su suerte es la del campesino de Kafka al que la Ley le niega una y otra vez el acceso que desde siempre le destina. Sin embargo, la postergación perpetua no refuta el instante de las 9:00:08; sólo frustra la experiencia de alcanzarlo (en todo caso, ésta no puede ser nunca la culminación de un recorrido, sino sólo la consumación de un salto).

2.

   Para sumar un tamaño infinito, la pared está igual de lejos cuando tiene 12 ladrillos que cuando tiene 1.410⁷⁵. Asimismo, si bien un resto de 25 centésimas de segundo es menor que uno de 4 segundos, la pared, en un sentido, no está más cerca del final de su existencia a las 9:00:07:75 que a las 9:00:04, a pesar de que esté más lejos de su principio; a cualquier hora todavía le faltará una infinidad de intervalos por restar. En virtud de las magnitudes de sus términos —crecientes o menguantes—, decimos que estas sucesiones convergen a un límite; pero no se aproximan a él, si consideramos la magnitud en sí de la sucesión (es decir, el número de sus términos, cuya infinitud hace que la distancia con el límite sea constante en toda la serie, idéntica en todas sus posiciones).

3.

   Tres clases de series infinitas recorren la anécdota de la pared. Por un lado, hay una serie que converge a un límite de valor finito; es la cronología de la jornada: 9:00:00, 9:00:04, 9:00:06, 9:00:07, 9:00:07:50,... 9:00:08. Por otro lado, hay series que convergen a un límite de valor nulo (4, 2, 1, 1/2,... 0): la serie de las duraciones que tienen los actos del albañil (o la de sus velocidades, medidas en segundos por ladrillo); simétrica a aquélla, la serie de los tiempos de sobrevida que tiene cada ladrillo en la pared. Finalmente, hay series que convergen —en un sentido diferente al de las anteriores, pero no por eso menos preciso— a un límite de valor transfinito (1, 2, 3, 4,... ℵ_o): la serie de ladrillos que forman la pared; la de actos que realiza el albañil; y la serie de los intervalos que dura cada uno de esos actos.
   Las sucesiones mencionadas se correlacionan: a medida que la pared aumenta de tamaño, su tiempo se acorta. Su agonía, como vemos, es interminable: no existe un último resto. Su crecimiento también: no hay un último tamaño. Pero ambas infinitudes están limitadas: aunque no haya un resto último, hay un resto mínimo (0 segundo), situado en el mismo instante en que la pared registra su tamaño máximo (ℵ_o ladrillos).
   El límite de una serie infinita —a diferencia del extremo de una finita— no pertenece a la serie de la que participa; la trasciende: delimita el campo de sus posiciones, pero no ocupa ninguna. El hecho de que la cantidad de ladrillos, por un lado, y la cantidad de intervalos decrecientes, por otro lado, no puedan llegar a ser infinitas, no significa que no lo sean a las 9:00:08. Antes de ocuparnos de la inconsistencia de su cohabitación, elijamos alguna de las dos infinitudes para revisar las razones de su magnitud.

4.

   A las 9:00:07, la posibilidad que tiene la pared de contar 12 ladrillos es actualizable. A las 9:00:07:99,8046875, cuando el albañil haya completado nueve actos más, la posibilidad de una pared de 12 ladrillos se habrá vuelto una realidad. Para cualquier número finito de ladrillos hay una hora de la jornada en que la pared adquiere ese tamaño. En cambio, la actualización de un tamaño infinito no corresponde a ninguna hora de las que integran la serie, sino a la que asume su límite. En su vida serial, durante su construcción, la pared no conocerá la hora que le depara la infinitud; de ahí que se afirme que ella es potencialmente infinita. Agreguemos lo que en general se tenderá a omitir: la sentencia es válida sólo en la jurisdicción de la serie. En el límite, a las 9:00:08, la infinitud de ℵ_o ladrillos es tan ‘actual’ —y tan rigurosa— como la finitud de 12 a las 9:00:07:99,8046875.
   En definitiva, lo que importa es que ese momento en que el número de ladrillos es infinito existe; que se pueda o no alcanzar es una cuestión independiente. El desenlace de una persecución interminable es una eventualidad siempre insatisfecha, un suceso en perpetuo advenimiento; la infinitud de la pared a las 9:00:08 es un dato, un resultado que se infiere del juego abstracto de las series, de su trama de condiciones y rigores. Cursemos esa inferencia.
   El número acumulado de ladrillos en la sucesión de los intervalos reproduce la serie de los números naturales: 0 (de 9:00:00 a 9:00:04), 1 (de 9:00:04 a 9:00:06), 2 (de 9:00:06 a 9:00:07), etc. Si a cada intervalo le corresponde un número definido de ladrillos, el que le corresponda al intervalo al que converge la sucesión (el que va de las 9:00:08 a las 9:00:08) será el límite de la serie de los números naturales y el tamaño de su conjunto (el total acumulado).
   Este número y aquel intervalo son heterogéneos respecto de los términos en cuyas series ofician de límites: el infinitésimo intervalo no es positivo (sino nulo: un instante); el infinitésimo número no es natural: es un nuevo número, el que sigue a todos los cardinales finitos: es el primer cardinal transfinito, ℵ_o (o el primer ordinal transfinito, ω, si hablamos de series y no de colecciones). De heterogeneidades como esta tratará el próximo inciso.


2.1 El crédito


1.

   Supongamos que hay dos posibilidades: o bien el albañil ya disponía de la infinidad de ladrillos necesaria al momento de comenzar su pared, o bien se los fue proveyendo una cadena de fabricaciones oportunas. Dejemos para más adelante esta segunda conjetura. Para la primera, imaginemos que el albañil compró los ladrillos.
   Un ladrillo no es un artículo caro. Pero como la cantidad requerida era exorbitante, el albañil negoció un crédito especial. El vendedor le ofrecía el lote a $2.000 al contado o en 2 cuotas iguales sin intereses. El albañil le dijo que podía pagar por cuota la mitad de lo ofrecido. El vendedor le explicó entonces el mecanismo de su indexación: siempre que redujera a la mitad el monto de la cuota, el valor de una de esas nuevas cuotas iguales se agregaría al precio final del lote; correlativamente, el número total de cuotas iguales sería el doble que el anterior, más uno. De este modo, si rebajaran el monto de cada cuota de $1.000 a $500, el precio total financiado (PTF) pasaría de $2.000 a $2.500, a saldar en 5 cuotas; si aplicaran una segunda reducción, habría 11 cuotas de $250, que totalizarían $2.750 (2.500+250); en el tercer paso habría 23 cuotas de $125, con un total de $2.875 (2.750+125); etc.
   Aceptada la inverosímil generosidad del crédito, constatemos la situación paradojal que se suscita en el límite ternario de su mecanismo infinito: el albañil —concedámosle la eternidad— debería ahí un total de $3.000, pero a la vez pagaría ℵ_o cuotas de $0. El crédito más oneroso, el de una deuda perpetua, es el menos costoso. La tabla que sigue muestra los primeros valores de esta función.

   Durante la serie, la suma de los montos es igual al precio total financiado; en el límite, ya no. El caso es análogo al de la sucesión de polígonos inscriptos en un círculo, donde el incremento aritmético en el número de lados es acompañado por la disminución en la longitud de cada uno. La secuencia fue invocada por Antifón para argumentar la posibilidad de realizar una cuadratura del círculo;*

«Como cabe construir un cuadrado equivalente a un polígono regular con un número cualquiera de lados, por grande que sea ese número, y como un polígono cuyos lados no se distingan de los arcos de una circunferencia debe ser considerado igual a esa circunferencia, Antifón llegaba a la conclusión de que es posible efectuar una cuadratura del círculo.»

   La cita es del capítulo II, “El límite”, del libro de Paolo Zellini Breve historia del infinito (Madrid, Siruela, 1991; p. 29). El capítulo abre con una pregunta: «¿Hubo, en el pensamiento clásico, alguna alusión a la posibilidad de actualizar el infinito, absolviéndolo así de la negatividad de su ser meramente potencial?» Zellini encuentra una alusión tal en los argumentos de Antifón; escribe en la página 31:

«La circunferencia es un límite que ‘comprende’ la sucesión ilimitada de los polígonos, aun no constituyendo su término efectivo; constituye, con todo, una solución a la indefinida potencialidad de desarrollo de la sucesión, aun situándose fuera de ésta. Lo cual significa que es posible representarse concretamente la solución final de un proceso ilimitado, aun sin renunciar al carácter potencial de éste: la inagotabilidad de lo ilimitado sigue siendo un hecho irrenunciable, pero no obliga por ello a limitarse a una simple aproximación a lo que se quiere alcanzar. Aun no saliendo nunca de lo finito, y siendo, en cambio, de éste tan sólo una incesante repetición, lo ilimitado puede indicar algo que lo trascienda, exponer esa trascendencia como signo característico de una completitud actual e infinita y, por consiguiente, evocar o reflejar por transposición analógica su naturaleza íntima.»

despleguemos sus primeras cuatro fases.

   En cada paso, la longitud perimetral de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados. En el límite, donde un polígono con ℵ_o lados de 0 centímetros coincide con el círculo, la ecuación pierde validez. Tanto acá como en el crédito, las fórmulas que son aplicables a los términos de la serie infinita no lo son al término límite porque éste no es uno de ellos: trasciende a la serie, no pertenece a su cuenta. Lo que sucede en el sistema no le sucede al sistema.
   Repasemos los límites que actúan en la historia de la construcción de la pared y en la del crédito. El límite de una serie infinita de cuotas es una cuota heterogénea (de monto nulo). El límite de una serie infinita de polígonos inscriptos en un círculo es un polígono heterogéneo (con ℵ_o lados de longitud nula). El límite de una serie infinita de intervalos es un intervalo heterogéneo (de duración nula). El límite de una serie infinita de conjuntos (de ladrillos o de números naturales) es un conjunto heterogéneo (de tamaño infinito). El pasaje al límite de una serie infinita es un salto cualitativo: en nuestra casuística, narra el tránsito de lo positivo a lo nulo, de lo recto a lo curvo, de lo durativo a lo instantáneo y de lo finito a lo infinito.

2.

   El tránsito de lo curvo a lo recto fue narrado con interés teológico por Nicolás de Cusa (cf. La docta ignorancia, Capítulo XIII): una serie creciente de círculos excéntricos (con diámetros que se dupliquen, para no perder la costumbre). En el límite, una recta de longitud infinita es el arco del círculo máximo, de área infinita (valga como ejemplo de una figura con la doble condición de infinita y limitada).

   Si en cada círculo, de menor a mayor, inscribimos los polígonos de Antifón, esa recta liminal es también el nicho de los ℵ_o lados con ℵ_o cm del polígono máximo, que aun infinito —o acaso con mayor resignación— constatamos que idealmente equivale a un círculo (el círculo cusano). Con seis círculos y su límite, la cruza de Antifón y Nicolás de Cusa luce así:

   En el límite que es esa recta infinita no hay más incrementos (de número y longitud de lados poligonales ni de longitud de circunferencias). Más adelante veremos cómo, análogamente, en el límite que es la velocidad instantánea de las 9:00:08 cesan los incrementos de velocidad y de ladrillos, aun si no cesa la actividad del albañil.

3.

   Para atenuar los efectos digresivos, limitémonos a un comentario más sobre el relato incrustado, antes de retomar el principal. La comparación entre la infinitud de ladrillos y la de cuotas reencuentra la antigua distinción entre un infinito por adición y otro por división, que en la historia de la construcción se conjugan para tramar la paradoja. El número de ladrillos al que converge el crecimiento de la pared es el resultado de una suma infinita: 1+1+1+... = ℵ_o×1= ℵ_o; el número al que converge la disminución de los montos es el resultado de una división infinita: 3.000÷ℵ_o= 0 (la misma relación puede establecerse entre la longitud de la circunferencia, el número de segmentos rectos —lados— por los que se la divide y la longitud de cada uno de ellos).

4.

   En el final del ensayo volveremos sobre el problema del infinito. Por lo pronto, veamos un ejemplo en que se manifieste la divergencia que hay entre sus dos concepciones, la potencial y la actual.
   Supongamos que, para considerarla como tal, le exigimos a la pared que cuente con el total de sus ladrillos posibles. Si nos permitimos suponer cumplida la condición, apuntaremos la paradoja de que la pared llega a ser en el mismo instante en que deja de ser. Si no, se dirá —como justificación de la negativa y a modo de impugnación de la vía que conduce a la paradoja— que la pared misma no es menos potencial que el infinito que persigue (de hecho, lo que en esta línea se puede decir sobre su existencia ha sido dicho sobre la del infinito).
   En el estilo de la primera opción, la sección que sigue estará dedicada a describir el cuadro de las 9:00:08.


3. La inconsistencia


1.

   Otras empresas fugaces se han requerido infinitas. Montemos la carrera de Aquiles y la tortuga sobre el mismo diagrama de la edificación que ha sabido inspirar.
   A un metro por segundo, Aquiles corre el doble que la tortuga, a la que le da una ventaja de 4 metros. A las 9:00:00 se inicia la carrera. A las 9:00:04, Aquiles cubrió los 4 metros de ventaja pero la tortuga se alejó 2 metros; a las 9:00:06, Aquiles hizo esos 2 metros y la tortuga se alejó 1; a las 9:00:07, Aquiles cubrió ese metro y la tortuga se le escapó medio metro; etc. Así, en los 8 segundos de que dispone, Aquiles no descontará la ventaja inicial de 4 metros que le dio a su competidor si no cubre una infinidad de huellas frescas (las que va dejando a su paso esa meta fugitiva que es la tortuga).
   Entre la línea de largada (0) y la meta (1), los puntos de la pista que hemos datado siguen esta progresión: 1/2, 3/4, 7/8, 15/16,... 1, que también puede expresarse así: (2¹–1)/2¹, (2²–1)/2², (2³–1)/2³, (2⁴–1)/2⁴,... (2^ℵ_o–1)/2^ℵ_o (= 2^ℵ_o/2^ℵ_o = 1). La persecución de la tortuga puede canjearse por el viaje solitario de un Aquiles que, para cubrir los 8 metros que lo separan de su meta, se le da por reducir cada vez a la mitad la longitud de su último paso (si en vez de eso la repitiera, en lugar de pasar a otro penúltimo paso llegaría a destino). De la meta, este Aquiles siempre estará a un tramo idéntico al último realizado: cuando esté en 1/2, le faltará 1/2 para 2/2 = 1; cuando esté en 3/4, le faltará 1/4 para 4/4 = 1; etc. En el límite, el penúltimo paso y el último, que matemáticamente coinciden —(2^ℵ_o–1)/2^ℵ_o = 2^ℵ_o/2^ℵ_o—, son uno, lo que constituye una reducción al absurdo de la posibilidad de que la progresión —infinita como es— tenga un último término.
   El Aquiles de esta imaginación y el de Zenón nunca interrumpen su marcha; el de Adolf Grünbaum (cf. “Can an Infinitude of Operations be Performed in a Finite Time?”, en The British Journal for the Philosophy of Science 20, 1969; pp. 203-218), un Aquiles ‘staccato’ adicional, recorre la mitad de la pista en la mitad del tiempo que el Aquiles continuo del original (son las 9:00:02), se detiene a descansar un lapso idéntico al empleado y entonces reanuda su marcha, en el preciso instante en que el otro lo alcanza (son las 9:00:04), y así siguiendo. A las 9:00:08, el continuo y el discontinuo llegan a la meta. Con este segundo Aquiles se identifica mejor el albañil: ambos desobedecen la prohibición aristotélica de realizar una serie infinita de tareas discretas en un tiempo finito (leemos en Física, VI, 2, 233a 25: «Ciertamente, no es posible durante un tiempo finito tocar cosas que sean infinitas por su cantidad, pero se las puede tocar si son infinitas por su división», que no es el caso de la infinitud de ladrillos que pone el albañil ni de viajes que hace el Aquiles ‘staccato’, ambos en 8 segundos).
   Volvamos a la carrera original: desde la ventaja inicial de 4 metros, Aquiles va reduciendo esa brecha hasta anularla en el límite de la progresión: 4, 2, 1, 1/2, 1/2²2, 1/2³, 1/2⁴,... 1/2^ℵ_o = 0 metro, exactamente en el punto de los (2^ℵ_o–1)/2^ℵ_o, es decir, en 1, la meta, donde la carrera se empata.

2.

   A otras piezas de interminable agonía les espera la nada (a la manera kafkiana, lo que es vano como espera es riguroso como resultado). Desde el siglo III a.C., unos sofistas chinos eliminan cada día la mitad de un palo, que empezó midiendo 30 centímetros. Por su parte, Borges imagina que Aquiles y la tortuga se ven forzados a reducir sus tamaños para ocupar espacios cada vez menores.*

La reducción del palo de Hui Shih —también referida por Borges— se encuentra en el parágrafo 9 del capítulo 33, Libro Tercero, de Chuang-Tzu (Caracas, Monte Ávila Editores, 1993, p. 251). La observación de Borges, en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” (cf. Discusión, Buenos Aires, Emecé, 1994, p. 156).

   La pared que el albañil construye experimenta a la vez esas suertes opuestas: a las 9:00:08 consta de un número infinito de ladrillos que ya no la componen (la conquista de la infinitud y la desintegración del conquistador ocurren al mismo tiempo). De un absurdo como este quedan libres la carrera griega y el ejercicio chino. Actualizados los límites de sus series infinitas, las dos historias se reconcilian con el sentido común: Aquiles alcanza a la tortuga y el palo se anula. Si las condiciones de pervivencia en el mundo del albañil no existiesen, la pared se vería libre de su inconsistencia: a las 9:00:08 sería meramente infinita. Antes de avanzar con las precisiones de lo que ocurre a esa hora, desarrollemos un poco más la comparación hecha.
   Las dos historias agregadas tienen procesos contraintuitivos; la de la pared, resultados estrictamente paradójicos. Reformulo y amplío: las paradojas de la construcción se verifican en la meta; las perplejidades reticentes de la carrera (el más veloz no alcanza al más lento) y de la reducción (el palo no se anula) se verifican en la ruta que conduce infinitamente a una meta que, por esa razón, se figura imposible. (Las tragedias kafkianas se erigen ubicando en esta escena a alguien que se consume esperando —un arribo o una autorización: el súbdito de “Un mensaje imperial”, el campesino de “Ante la Ley”— o intentando —el mensajero real, el bancario Joseph K., el agrimensor K., el campesino otra vez, con sus súplicas y sobornos al guardián.)

3.

   Detallemos la inconsistencia de la que no se verá libre la pared; comencemos la descripción del cuadro complejo que se forma en la hora límite.
   Vencidos sus plazos, todos los ladrillos dejan de existir (en principio, al menos, como integrantes de la pared). Sin ser la excepción, hay sin embargo un ladrillo que, con pleno derecho, existe a la misma hora en que vence su plazo. A las 9:00:08, el albañil pone un ladrillo en 0 segundo, que 0 segundo después —a las 9:00:08— dejará la pared. Como si un instante (inconcebiblemente) se dividiese en dos, la colocación y la exclusión del infinitésimo ladrillo —la conquista de la existencia y la defunción del conquistador— acontecen a la misma hora; él es el único ladrillo que se resta, en plena compañía, en el mismo instante en que se agrega y reside, en absoluta soledad.
   De los ℵ_o ladrillos que, por la lógica de su acumulación progresiva, conforman la pared a las 9:00:08, sólo el infinitésimo tiene derecho a existir en ella por la lógica que rige el mundo del albañil. A la misma hora, la pared constituye, por la primera lógica, un conjunto infinito de ladrillos; por la segunda, un conjunto unitario.
   Así, la situación de la pared a las 9:00:08 está tironeada por tres lógicas distintas, que se disputan el tamaño del conjunto y la existencia de la obra (el infinitésimo ladrillo participa en las tres: protagoniza una y se pliega a los demás ladrillos —para restarse o para sumarse— en las otras dos).

4.

   La evanescencia unánime anula la obra: la pared no existe fuera de la relación entre ladrillos en que consiste. Conviene ser más precisos: la trama de ladrillos que hace a la pared desaparece a las 9:00:08, y con ella la pared propiamente dicha. Pero el conjunto de ladrillos que provee a la trama (que no es algo concreto —como la pared— ni ordinal —como la trama de ladrillos en que consiste la pared—) no es inexistente a esa hora por el hecho de que no haya ladrillos: es vacío, carece de miembros. A las 9:00:08, por lo tanto, no hay dos sino tres tamaños obligatorios para el conjunto, uno por cada lógica en disputa: ℵ_o, 1 y 0.
   Algún refuerzo argumental tal vez sea útil, si no necesario. Mientras una pared sin ladrillos ya no es una pared, un conjunto sin elementos es todavía un conjunto. Una membresía, para ser tal, no precisa de miembros que la ostenten. Por lo demás, es irrelevante si la ausencia que cumple con la membresía es necesaria (como ocurre a las 9:00:08) o es contingente (como ocurre entre las 9:00:00 y las 9:00:04). En el límite de las duraciones menguantes no es ociosa la distinción entre la pared que deja de existir y el conjunto de los ladrillos que en ese instante la integran, que no tiene miembros; la inexistencia de la pared no implica la del conjunto. Para impugnar la existencia de un conjunto habría que exhibir una contradicción en su formación. De las tres inconsistencias que se verifican a las 9:00:08, dos involucran sendas entidades concretas (la pared y su infinitésimo ladrillo); la tercera, que involucra al conjunto de los ladrillos que a esa hora componen la pared, atañe al tamaño que debe corresponderle al conjunto, no a su formación.

5.

   El incremento infinito en la velocidad del albañil es el mecanismo que le da a la fábula de la pared su eficacia. La más ínfima interrupción, la mínima relajación en su marcha, estropearía el argumento. Si en algún n-ésimo acto (donde n es un número finito) el albañil repitiese la velocidad del acto anterior —en vez de duplicarla—, serían entonces las 9:00:08 y n–1 ladrillos perderían su pertenencia a la pared, que reiniciaría su historia con el recién llegado. Por ejemplo: si a las 9:00:07, cuando comienza el 4º acto, el albañil no tardase 1/2 sino otra vez 1 segundo en colocar el 4º ladrillo, éste ocuparía su lugar a las 9:00:08, en el mismo instante en que dejarían el suyo los 3 anteriores.
   A partir de la primera colocación, interrumpa o no interrumpa el albañil el incremento de su velocidad, su obra caducará a las 9:00:08. Si se produce la interrupción, la pared se esfuma con una cantidad de ladrillos (necesariamente finita) obtenida antes de las 9:00:08. Si no hay interrupción, la cantidad infinita con la que se desvanece la obtiene la pared al momento mismo de desvanecerse, ni antes ni después.
   De este modo, contamos con dos datos contradictorios para diagnosticar la situación de la pared a las 9:00:08. Si de un número nulo de ladrillos —resultado de una caducidad sincronizada— es lícito inferir la inexistencia de la pared, de un número positivo —resultado de una acumulación infinita— es lícito inferir su existencia. En ambos diagnósticos subyace la idea de que un tamaño supone la existencia de un objeto concreto que lo tiene por atributo. El absurdo será una cosa si aplicamos los datos al supuesto y otra si aplicamos el supuesto a los datos.
   Si aplicamos los datos al supuesto, el absurdo es su crisis: a las 9:00:08 tenemos una infinitud sin pared que lo contradice (y que se parece a ese otro accidente sin sustancia —o atributo sin objeto— que es la sonrisa sin gato que ve Alicia en el capítulo VI de sus aventuras). Si aplicamos el supuesto a los datos, el absurdo es una circunstancia contradictoria (una inconsistencia): hay ℵ_o ladrillos —luego, la pared existe— y ninguno —luego, la pared no existe—. (La magnitud infinita está involucrada de un modo inesencial en el absurdo; lo que es válido para ℵ_o lo sería igualmente para cualquier número finito de ladrillos, si a él convergiera el crecimiento de la pared.)

6.

   En la estricta simultaneidad de los avatares opuestos se juega gran parte de la comprensión del problema. Veamos los dos equívocos posibles derivados de entender como sucesivos los hechos que tienen lugar en el límite.
   Si el vencimiento de los ladrillos sucediese primero, la historia narraría la frustración de un destino de infinitud. Pero el chiste de la paradoja (el absurdo) resulta precisamente de que la infinitud, en lugar de malograrse, se consuma con igual derecho y a la vez que la disolución de la pared.
   En el error inverso, la infinitud de la pared se adelanta a su inexistencia. Para tener un tamaño de ℵ_o ladrillos ya a las 9:00:08, la pared debería haberlo adquirido antes de ese momento, con la acción previa del albañil; pero no hay un tamaño inmediatamente anterior al de esa hora (el que correspondería al intervalo anterior al infinitésimo), como que no hay un antecesor inmediato de ℵ_o.

7.

   Dado que, por definición, no hay un intervalo positivo de cuya disminución a la mitad resulte un tiempo cero de acción, que es el utilizado en la infinitésima colocación, no hay una velocidad anterior a la instantánea que pueda repetir el albañil a las 9:00:08.
   Ahora bien, la posibilidad de que el albañil duplique su velocidad no es ilimitada: a partir de las 9:00:08, si continúa trabajando a ese ritmo (nada se lo impide), es inevitable que la repita; o, para ser más precisos, ahí la duplicación tiene el mismo efecto y valor que la repetición, ya que 0÷2= 0. En la mitad de tiempo que usó para colocar el infinitésimo ladrillo, que resulta ser el mismo tiempo, el albañil puede colocar otro (ℵ_o+1); y en la mitad, otro (ℵ_o+1+1); y así siguiendo (del absurdo de una progresión de eventos simultáneos hablaremos más adelante).
   En rigor, la cantidad de ladrillos que el albañil pone de 9:00:00 a 9:00:08 la podría poner de 9:00:08 a 9:00:08, sin que con eso se ganase ni un microsegundo de sobrevida: ℵ_o, en el primer caso, ó ℵ_o+ℵ_o= ℵ_o ladrillos, en el segundo caso, tendrían por igual su vencimiento a las 9:00:08. A esa hora, con una velocidad de 0 segundo por ladrillo, colocar 1, 2 ó ℵ_o piezas no altera la historia.

8.

   Siempre hay un lapso de tiempo finito (ni nulo ni infinito) en que el conjunto posee un número nulo o finito de miembros. Por ejemplo: entre las 9:00:00 y las 9:00:04 (durante 4 segundos), el conjunto es vacío; entre las 9:00:04 y las 9:00:06 (durante 2 segundos), tiene un solo ladrillo; dos ladrillos, durante 1 segundo (entre las 9:00:06 y las 9:00:07); tres, durante 1/2 (entre las 9:00:07 y las 9:00:07:50); etc.
   En cambio, la situación inconsistente de la pared a las 9:00:08 y la del ladrillo de las 9:00:08 registran una duración nula: sólo en el momento exacto de esa hora el infinitésimo ladrillo existe en la pared; y el conjunto de ladrillos es vacío, infinito y unitario únicamente en el intervalo que va de las 9:00:08 a las 9:00:08. La vida de un acontecimiento absurdo no se extiende más allá de un instante.

9.

   Resumamos. Las 9:00:08 proporciona la situación en que los absurdos pueden acontecer y el instante durante el cual pueden existir, pero no los provoca. Que en el límite de los tamaños crecientes el conjunto de ladrillos sea infinito y que en el límite de las duraciones menguantes sea vacío y la pared ya no exista, son hechos perfectamente consistentes; lo inconsistente es su convivencia.
   Una inconsistencia es el conflicto entre dos o más lógicas (o legalidades) con igual derecho a imperar, lo que vuelve imposible su resolución. Para peor, en la historia de la pared no hay una instancia de superación del conflicto: ni antes ni al momento ni después de su aparición interviene alguna ley suplementaria que permita, respectivamente, prevenirlo, inhibirlo o revocarlo.
   El absurdo que conforma una inconsistencia es el de una multiplicidad de resultados excluyentes. En nuestra fábula hay tres: dos referidos a la existencia de sendos objetos concretos y el otro referido al tamaño de una entidad abstracta. A las 9:00:08, la pared existe y no existe, lo mismo que su infinitésimo ladrillo; y el conjunto de ladrillos es un conjunto vacío, unitario e infinito.
   La triple inconsistencia desbarata la especulación de que una obra así en un mundo así sea posible. Como se ve, la presa de la reducción al absurdo que se puede hacer con el relato de la pared no es un trofeo demasiado valioso. La utilidad de la historia radica más bien en ofrecernos una fisonomía del absurdo; como ejercicio de aplicación es banal, y no pretende disimularlo.


3.1 Los avatares de la pared


1.

   Aun conservando el mecanismo que le da forma, la construcción de la pared admite otras versiones. Para que alguna de ellas implique algo más que una modificación de datos irrelevante, debe alterar una característica definitoria que tiene la versión en uso: en ésta, la velocidad instantánea del albañil se encuentra en el límite (a las 9:00:08) de una progresión de eventos sucesivos.
   Como veremos en breve, otras versiones más ansiosas pueden ubicar ese momento —suponiendo que parten también de las 9:00:00— a las 9:00:04, a las 9:00:02, a las 9:00:01, a las 9:00:00:50, etc. Pero si alguna lo ubica a las 9:00:00, no pertenece a la clase de versiones que consisten en una progresión de eventos sucesivos; de hecho, con su progresión de eventos simultáneos, pasamos de la tautología al oxímoron, sin escalas.
   Todavía no hablaremos del absurdo que nos regala esta versión heterogénea; la adelanto sólo para delimitar, con su exclusión, la clase de versiones sobre las cuales narraré los avatares de la pared según fue y según pudo haber sido su historia, de acuerdo con los resultados ya presentados.

2.

   La pared no tiene existencia alguna fuera de los márgenes de la jornada. La inexistencia es una exterioridad respecto del ser, no alguno de sus avatares, a menos que hablemos de un avatar negativo. Entre las 9:00:00 y las 9:00:08, la pared tiene una existencia posible (es decir, consistente). En la clase de versiones recién delimitada, a las 9:00:00 esa posibilidad es inactualizable (para que la pared cuente ahí con su primer ladrillo, la velocidad del albañil debería haber sido instantánea ya en el comienzo mismo de la construcción, cuya forma sería entonces la de una progresión de actos simultáneos). Entre las 9:00:00 y las 9:00:04, cuando aún no hay ningún ladrillo colocado, la posibilidad no se ha actualizado, pudiéndolo hacer. Entre las 9:00:04 y las 9:00:08, cuando el número de sus ladrillos es finito, la pared conoce una existencia real, efectiva. Tanto esta actualización como aquella inactualización de lo posible tienen lugar en la serie.
   La actualización en el límite habría dotado a la pared de un número infinito de ladrillos si el mundo en que se la edificó hubiese sido otro. Pero en el mundo del albañil, a las 9:00:08 —cuando aquel número exige ser triple— la existencia de la pared, afirmada y negada con razones de idéntico peso, ya no es consistente. A esa hora concluye la aventura de lo posible, que empezó a las 9:00:00.
   En el cuadro que sigue, los avatares existenciales de la pared están acompañados por los avatares cardinales del conjunto de sus ladrillos.

4. Los otros absurdos

   En la sección anterior vimos la inconsistencia suscitada en el límite de la correlación entre los tamaños que aumentan y las duraciones que disminuyen; en esta veremos ciertos absurdos que se generan en el límite de una serie infinita, pero sin entrar en conflicto con resultados concurrentes.
   Se trata de dos conceptos que tienen su sentido en la serie y lo pierden en el límite, donde contraen atributos incompatibles con su definición (suerte análoga a la que corren en sus límites las series de cuotas, de polígonos inscriptos y de números naturales). Uno es el concepto de progresión; el otro, el de regresión. En otras palabras, veremos cómo en el límite de sendas series infinitas se generan los absurdos de las dos modalidades de orientación —las dos direcciones— que puede tener una serie.


4.1 La progresión de eventos simultáneos


1.

   En la versión que estamos usando, el primer acto de la construcción demoró 4 segundos. Ensayemos otras versiones, donde la variable sea el tiempo que tardó el albañil en colocar el ladrillo inaugural.
   Si el albañil hubiese tardado 2 segundos para poner el primer ladrillo (1 para el siguiente, 1/2 para el tercero, etc.), la pared habría empezado a existir a las 9:00:02 y habría cesado a las 9:00:04. Si hubiese demorado 1 segundo, la pared habría existido de 9:00:01 a 9:00:02; si 1/2 segundo, de 9:00:00:50 a 9:00:01; etc. Así, las 9:00:00 (o cualquier otra hora en que fijemos el comienzo de la jornada) es el límite de la sucesión de instantes a los que podemos remontar el inicio de la pared.
   Pero en ese límite, donde el albañil tarda 0 segundo en poner el primer ladrillo (y 0÷2= 0 segundos para cada uno de los demás), la pared existe de 9:00:00 a 9:00:00 (ya que 0×2= 0); es decir, su inicio y su final coinciden. En el límite de esta serie, donde la velocidad instantánea del albañil es la única posible, a la pared toda le sucede lo que a uno de sus ladrillos, el infinitésimo, en el límite de la otra, cuando el albañil adquiere una velocidad instantánea.

2.

   En la versión original de la construcción, a cada acto del albañil le corresponde un instante (no a la inversa, por supuesto); y esto es así incluso para la colocación del infinitésimo ladrillo, que tiene lugar a las 9:00:08. Con los cambios de rigor en cada cronología, lo mismo ocurre con las versiones siguientes, a condición de que su número en la saga sea finito (es decir, lo mismo ocurre con la 2ª versión, con la 3ª y con la n-ésima, donde n es cualquier número natural).
   En la infinitésima versión de la construcción, en cambio, hay una ‘progresión’ irrestricta de actos en un mismo instante: a las 9:00:00 —único hito en esta cronología— el albañil coloca el primer ladrillo, pero media nada después puede colocar el segundo, y otra media nada más tarde, el tercero, y así siguiendo. El absurdo que se forma en este límite es el de una progresión de actos simultáneos (las acciones del albañil son además instantáneas, pero no es este un atributo contradictorio con el concepto de progresión, sino uno meramente extraordinario).

3.

   En la primera versión de la saga, el inicio de la pared —el comienzo de su existencia efectiva— difiere 4 segundos del inicio de su construcción. En la segunda versión, 2; en la tercera, 1; etc. En la infinitésima versión, el inicio de la construcción de la pared y el de su existencia coinciden. Entre la acción de colocar un ladrillo y el efecto ladrillo colocado (o entre la acción de realizar una pared y el efecto pared realizada —con un tamaño a discreción) no hay aquí ninguna distancia temporal.
   Tampoco la hay, simétricamente, entre el final de la construcción de la pared y el de su existencia en la hora límite de la primera versión. La hazaña y la frustración se mezclan a las 9:00:08, cuando la pared se inaugura y a la vez se desvanece; no hay lapso, por ínfimo que se imagine, en que la obra terminada se deje contemplar por el albañil.


4.2 La progresión de eventos eternos


1.

   Como sabemos, la duración de la construcción es el doble de la duración de la primera colocación. Ésta es de 4 segundos en la versión original; emulemos otra vez la progresión de la fábula e imaginemos una segunda versión en la que el acto inaugural dura 8 segundos y la construcción infinita, 8×2= 16; la tercera versión comienza con 16 y abarca 16×2= 32 segundos; etc.
   En el límite de la secuencia (2², 2³, 2⁴, 2⁵,...) encontramos al albañil demorando una eternidad de 2^ℵ_o segundos para poner el primer ladrillo, acción cuyo efecto se perderá 2^ℵ_o×2= 2^ℵ_o segundos después. (La progresión proyecta la historia hacia el futuro, infinitamente; más adelante la veremos hacerlo hacia el pasado, ubicada a la izquierda de las 9:00:00.) El segundo ladrillo de la infinitésima versión es colocado en 2^ℵ_o÷2= 2^ℵ_o segundos; la ecuación puede aplicarse las veces que se quiera: en el mismo tiempo (a la misma velocidad) pondrá el albañil el tercer ladrillo en la pared, y el cuarto y el n-ésimo, al modo como vimos que ocurría con la velocidad opuesta, la instantánea.

2.

   Si la sucesión de los actos se anulaba en el límite de las versiones menguantes, en el de las versiones crecientes se exacerba; ahí, lejos de ser simultáneas, las acciones del albañil se suceden a intervalos eternos (acaso hasta un número infinito, si el hombre trabaja tanto como en las versiones limitadas por la infinitésima).
   La morosa sucesión de los trabajos y los días deja de ser convergente, y se podría discutir si la duración de sus términos puede ser infinita; pero estos rasgos alterados, que hacen tal vez monstruosa la progresión, no la hacen contradictoria. Análogamente, la progresión que había en el límite de las versiones menguantes no era absurda por ser veloz la sucesión ni por ser instantáneos sus términos —rasgos opuestos a los que estamos considerando—; el problema estaba en la simultaneidad de los actos, de la que esta versión dista como ninguna.


4.3 Las tres velocidades y el orden causal


1.

   El albañil termina la pared después de empezarla si su velocidad de inicio es inferior a la instantánea. Si es igual, la termina al mismo tiempo que la empieza, como hemos visto. Y si es superior, la termina antes de empezar.
   El vínculo de implicación en cada dupla es tan sólido cuando describe una situación que nos resulta obvia como cuando describe situaciones que rechazaríamos por inverosímiles o absurdas. Estos rechazos no pueden ser aducidos para impugnar la condición, sino a la inversa: se debería justificar la imposibilidad, por ejemplo, de una velocidad superior a la instantánea para entonces poder negar la posibilidad de un estado anterior a la acción que lo produce (una pared que ya está construida antes de ser construida, como se estila en el Espejo, donde Alicia primero reparte el pastel y después lo corta).*

   —No sabes manejar los pasteles del Espejo —observó el Unicornio—. Repártelo primero, y córtalo después.
   Parecía un disparate, pero Alicia, muy obediente, se levantó, hizo circular la bandeja, y el pastel se dividió por sí mismo en tres pedazos.
   —Ahora córtalo —dijo el León, cuando ella regresó a su lugar con la bandeja vacía.

   Capítulo VII, “El León y el Unicornio”, de A través del espejo y lo que Alicia encontró allí, de Lewis Carroll; la traducción es de Eduardo Stilman, para Los libros de Alicia (Buenos Aires, Ediciones De La Flor, 1998, pp. 193 y 194).

2.

   Para dar con esa justificación, alguien podría utilizar la indiferenciación que hemos observado, en la versión original, entre la duplicación (extensible a cualquier otra multiplicación) y la repetición de la velocidad del albañil a partir de las 9:00:08. Pero al argumento le son indiferentes esos desvelos; él sólo afirma que, respecto de la velocidad instantánea, una superior implica secuenciar acción y estado de un modo inverso al implicado por una inferior. Para hacerlo, la velocidad superior necesita ser posible, pero ese ya es un problema suyo, no del razonamiento que describe sus compromisos.

II. LAS VÍSPERAS DE LA CONSTRUCCIÓN

4.4 Regresiones finitas


1.

   Hasta acá, hemos hablado de cómo es —primera versión— o cómo sería —versiones restantes— la historia de la pared desde las 9:00:00 en adelante; hemos ensayado variaciones sobre la longitud de su progresión infinita convergente, de 8 a 0 y a 2^ℵ_o segundos (la longitud disminuyó o aumentó según una serie de reducciones o de incrementos análoga a la progresión, es decir, por dicotomías o por duplicaciones).
   A partir de ahora hablaremos de cómo puede ser la víspera de la construcción; nos importará la historia desde las 9:00:00 hacia atrás, y en vez de progresiones desplegaremos regresiones. El episodio dominante ya no será el destino de los ladrillos, sino su origen.

2.

   En un mundo estorbado por semejantes condiciones de pervivencia (de las que conviene eximir al albañil, para simplificar), la existencia misma de los ladrillos con que se hace la pared estará en entredicho. Si nos despreocupamos de ellos, tal vez el tiempo de su subsistencia haya vencido antes de que puedan integrar la pared o deba vencer durante su participación en ella.
   Sin entrar a discutir si es posible, observemos que no es necesario el concurso de todos los ladrillos al inicio de la jornada. El albañil precisa uno a las 9:00:00; otro, a las 9:00:04; otro, a las 9:00:06; etc. Esta distribución oportuna lo excusa de disponer de un conjunto actualmente infinito de ladrillos en un momento dado. Pero el problema de la permanencia de cada uno de ellos en la hora de su uso persiste. Y aun cuando logremos justificar la presencia de un ladrillo, por ejemplo, a las 9:00:00, deberíamos justificar también la presencia de la arcilla de que está hecho. Y luego, la de los minerales de la arcilla; y así siguiendo.
   Pese a lo que pueda parecer, no es difícil garantizar que esta cadena de materias primas, por larga que fuere, esté vigente cuando el albañil se sirva de cada ladrillo. E incluso podemos contar la historia de modo que esa vigencia cese a la misma hora para todos los eslabones de la cadena, desde los ladrillos hasta donde queramos remontarnos.

3.

   Hasta donde hemos supuesto, el albañil les dio a los ladrillos su entramado de muro, pero no su existencia. Si fueron sacados de un montón, a las 9:00:08 sobrevivirán a la pared, sólo que ahora en la trama del montón originario.
   Pero los ladrillos son a la vez obras, cosas efectuadas. Sincronicemos su propia caducidad con la de su participación en la pared y supongamos, entonces, que el primer ladrillo fue fabricado durante los 8 segundos que van de las 8:59:52 a las 9:00:00. El segundo ladrillo, durante los 4 segundos que van de las 9:00:00 a las 9:00:04. El tercero, durante los 2 segundos que van de las 9:00:04 a las 9:00:06. El infinitésimo, en el intervalo que va de las 9:00:08 a las 9:00:08. Por lo tanto, si junto al albañil ponemos en escena a un fabricante que lo abastece, a las 9:00:08 los ladrillos no estarán de nuevo amontonados, sino desintegrados en sus ‘ingredientes’, formando acaso una montaña de arcilla. En definitiva: no sólo no habrá pared; tampoco habrá ladrillos.
   Pero también la arcilla es el efecto de una acción (o el resultado de un proceso, si se prefiere). Esta nueva instancia se salva suponiendo que la arcilla para hacer el primer ladrillo fue elaborada durante los 16 segundos que van de las 8:59:36 a las 8:59:52. La arcilla del segundo ladrillo fue elaborada durante los 8 segundos que van de las 8:59:52 a las 9:00:00. La arcilla del tercer ladrillo, en 4 segundos, de 9:00:00 a 9:00:04; la del cuarto ladrillo, en 2 segundos, de 9:00:04 a 9:00:06; la del infinitésimo ladrillo, en 0 segundo, de 9:00:08 a 9:00:08.
   Lo mismo se puede describir para los minerales de la arcilla. Los minerales con que se hizo la arcilla con que se fabricó el primer ladrillo que colocó el albañil se formaron durante los 32 segundos que van de las 8:59:04 a las 8:59:36. Los minerales con que se hizo la arcilla con que se fabricó el segundo ladrillo que colocó el albañil se formaron en los 16 segundos que van de las 8:59:36 a las 8:59:52. Los minerales con que se hizo la arcilla con que se fabricó el infinitésimo ladrillo que colocó el albañil se formaron, nuevamente, en el lapso nulo que va de las 9:00:08 a las 9:00:08.
   Como puede observarse, los componentes de la cadena correspondiente al infinitésimo ladrillo, y también él, son generados todos en un mismo instante, a la misma hora, que es a la vez la hora de sus vencimientos sincronizados. Si antes vimos cómo ese instante tuvo que dividirse en dos para soportar la inclusión y la exclusión de un ladrillo, ahora lo vemos repetir esa escisión por cada una de las acciones precedentes. Volveremos sobre esto en breve.

4.

   Una vasta maquinaria de producción, montada en el espacio y en el tiempo sólo para levantar una pared, converge hacia una hora contradictoria, un instante de consagración y de ruina. Su esquema es una proliferación del diseño eleático; en el cuadro que sigue, suponemos sólo dos hechos previos a la colocación de cada ladrillo y representamos apenas los tres primeros pasos de la construcción.

   Antes de avanzar, demorémonos en una cuestión preliminar. El motivo y el tema de este retorno a la historia de la pared, recordemos, es la obra, el efecto de una acción en las condiciones que rigen el mundo del albañil. Pero esa acción no es menos problemática que su resultado. ¿Qué es una acción? La colocación de un ladrillo, por ejemplo; o su fabricación o la formación de su arcilla. ¿Pero no lo son, con igual derecho, el tomar un ladrillo para colocarlo en la pared, o el abrir la mano para asirlo o el mover el brazo para alcanzarlo, etc.?
   Ahora el problema no es que una acción está encadenada a otras, cortadas a igual escala, sino que está compuesta por otras, cuyos efectos también pudieron haber vencido antes que el del ladrillo en la pared (diagramemos otra cronología ad hoc y salvaremos de nuevo la cuestión). Para resolver cuál será la pervivencia de una obra, podemos convenir en adoptar tal o cual acción como una unidad simple, una singularidad fáctica; pero no podemos pretender que lo sea por derecho propio (problema idéntico al de fijar el punto en que los senderos del jardín se bifurcan).

   Vayamos al cuadro. Cada vez, el nuevo componente que integramos a la cadena oficia de su origen, su punto de partida; de él se valdrá el primer acto de la historia. Y cada una de las veces en que la cadena es finita, el escenario de la construcción termina reducido a ese componente. Vale decir: si ese juego de combinaciones sucesivas tiene un primer elemento, usado en un primer acto de generación, a las 9:00:08 su existencia será la única. Por ejemplo: si la historia de ese mundo comienza a las 8:59:36 con la formación de la arcilla del que será el primer ladrillo de la pared, el primer elemento de la cadena son los minerales de la arcilla; a ellos se reducirá el mundo del albañil a las 9:00:08. (Si el primer elemento es la nada de una creatio ex nihilo, a las 9:00:08 la escena retornará a ella: no habrá pared ni ladrillos ni arcilla ni minerales ni nada.)


4.5 Regresiones infinitas


1.

   Como no vamos a aportarle ni a disputarle nada a la Física, supongamos que contamos con su anuencia —o su indiferencia— para prolongar a gusto la remisión, que en sí misma no está obligada a los infinitos pasos de una serie convergente. ¿Qué ocurriría con una cadena que no fuese finita, en el sentido de que termina (en un ladrillo) pero no empieza (en algún componente originario)?*

Existe una analogía aritmética de esta situación. A la inversa de la notación de números como π (3,14159...) o √2 (1,414...), que comienza pero no termina, hay dos números muy peculiares cuya notación termina pero no comienza; sus siete últimas cifras son ...7.109.376 y ...2.890.625. Para una explicación accesible y detallada del modo como se agrega una nueva cifra al grupo, véase Perelman, Y., Álgebra recreativa, Moscú, Editorial Mir, 1975, pp. 72-74.

   En lo que se refiere al destino de la pared, a las 9:00:08 ganaría la escena una deserción instantánea en infinitos niveles. No sólo habría ladrillos que desertarían de la pared, sino también (y al mismo tiempo) arcilla que desertaría de los ladrillos, minerales que desertarían de la arcilla, y así ad infinitum. ¿A qué se reduciría esta vez el mundo del albañil? Se reduciría al infinitésimo componente de la remisión, al que no hay que confundir con el primero de la cadena, que por definición no existe.

2.

   A las 9:00:08, si la cadena es finita, la evanescencia recorre en 0 segundo n niveles (donde n es cualquier número natural); si es infinita, en 0 segundo recorre ℵ_o niveles.

   Pensemos estas relaciones en términos de un desplazamiento más familiar (lo que sigue está extractado y adaptado de “Absurdo y utopía del movimiento”).
   Caminando, recorro 5 kilómetros en 1 hora. En un auto común, recorro 100 kilómetros en 1 hora. En un auto de Fórmula Uno, recorro 250 kilómetros en 1 hora. Si el límite del aumento de velocidad fuese actualizable, en 1 hora podríamos recorrer una distancia infinita.
   En 1 hora recorro 5 kilómetros, caminando. En un auto común, recorro en 3 minutos 5 kilómetros. En un auto de Fórmula Uno, hago en apenas 1 minuto con 20 segundos los 5 kilómetros. Si el límite del aumento de velocidad fuese actualizable, una distancia de 5 kilómetros podría ser cubierta en un tiempo 0 (este es el caso de una deserción instantánea en n niveles).
   Así, el incremento de velocidad tiene un doble límite: la infinitud de la distancia recorrida y la nulidad de la duración del viaje. Si pudiéramos transgredirlo y recorrer una distancia infinita en un tiempo cero (es decir, abarcar instantáneamente una infinitud), habríamos alcanzado la máxima velocidad concebible (el caso es análogo al de una deserción instantánea en ℵ_o niveles).

   En lo que se refiere al origen mediato de los ladrillos, veremos en primer lugar las consecuencias técnicas que tiene una cadena infinita de componentes y, en segundo lugar, las reacciones que suscita.


4.5.1 La regresión de eventos simultáneos


1.

   El albañil puso el primer ladrillo 4 segundos después de las 9:00:00; ese ladrillo fue fabricado durante los 8 segundos anteriores a las 9:00:00; la arcilla con que se lo hizo se formó durante los 16 segundos anteriores a las 9:00:00. Si la cadena de componentes fuese infinita (más precisamente, si tuviese ℵ_o eslabones), el infinitésimo componente de esta remisión habría sido gestado durante 2^ℵ_o segundos, 2^ℵ_o segundos antes de las 9:00:00. Detengámonos a justificar este record.
   Las duraciones de los intervalos que escalonan un retroceso infinito respecto de las 9:00:00 siguen una progresión geométrica de potencias con base 2: 2³= 8 segundos, 2⁴= 16, 2⁵= 32, 2⁶= 64,... . En ella, ℵ_o es el límite de la progresión aritmética de los exponentes: 3, 4, 5, 6,... ℵ_o. Por lo tanto, 2^ℵ_o —número superior a ℵ_o— es el límite de la progresión geométrica 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶,...; en calidad de tal, 2^ℵ_o es la cantidad de segundos que dura el infinitésimo intervalo (imaginemos un dios que demora un hipereternidad en crear algo, la misma que demoró el albañil en poner el primer ladrillo en la versión límite de la serie de versiones crecientes, cuando la progresión estaba a la derecha de las 9:00:00). Pero es también el resultado de la suma de esos intervalos: 2³+2⁴+2⁵+2⁶... = 2^ℵ_o, que ahora es la cantidad de segundos previos a las 9:00:00 que hay en esta remisión infinita.

   De un modo general, si una serie procede por duplicaciones sucesivas, los exponentes de la progresión geométrica con base 2 siguen un orden ascendente, como en el caso que acabamos de ver. Si procede por divisiones en mitades, los exponentes siguen un orden descendente; no otro es el caso de los tiempos con que se van agregando los ladrillos a lo largo de la jornada: 2², 2¹, 2⁰, 2^–1, 2^–2, 2^–3,... 2^–ℵ_o (4 segundos, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8,... 0). Como es notorio, todas las progresiones geométricas utilizadas en el ensayo pertenecen a alguna de estas dos clases.

2.

   Con los ajustes de rigor en las cronologías, lo mismo que se dijo para el primer ladrillo se podría decir para el segundo, para el tercero y para cada uno de los ladrillos que el albañil utiliza durante la jornada. Si son infinitas, todas estas remisiones tienen por infinitésimo término la generación de un componente en 2^ℵ_o segundos; sean o no infinitas, difieren en la duración de su primer acto (el mismo para todas: la elaboración del ladrillo que a esa hora pone el albañil).
   La remisión del primer ladrillo comienza con un intervalo de 8 segundos (2³); la del segundo, con uno de 4 segundos (2²); la del tercero, con uno de 2 (2¹); la del cuarto, con uno de 1 (2⁰). La secuencia sigue con exponentes negativos: la remisión del quinto ladrillo comienza con un intervalo de 1/2 segundo (=0,50 =2^–1); la del sexto, con uno de 1/4 (=0,25 =2^–2); la del séptimo, con uno de 1/8 (=0,125 =2^–3); etc. En el límite de la secuencia, la remisión del infinitésimo ladrillo que pone el albañil comienza (y sigue) con un intervalo de 2^–ℵ_o= 0 segundo, el que va de las 9:00:08 a las 9:00:08.
   El hecho de que no se pueda trascender del 0 mediante su duplicación (saltar de 2^–ℵ_o a 2^–n) es congruente con el hecho de que, en la remisión (finita o infinita) del infinitésimo ladrillo, todos los sucesos son simultáneos (tienen lugar a las 9:00:08) e instantáneos (duran 0 segundo). Recordemos que la colocación de este ladrillo y todos los demás acontecimientos que la preceden suceden, a la vez que sus respectivas caducidades, en ese lapso vacío, a esa hora exacta.
   Si no se fabrican ladrillos, el albañil no puede colocarlos; si no se forma la arcilla, el fabricante no puede fabricarlos; y así siguiendo. Acciones que se presuponen sucesivamente, trabadas en correlatividades rígidas, son simultáneas. La simultaneidad, que ya hizo absurda la progresión que debía tener lugar en el límite de las 9:00:00, hace absurda ahora la remisión del ladrillo que a las 9:00:08 pone el albañil.

3.

   Además de esta simultaneidad ‘horizontal’, que es paradojal, a las 9:00:08 se registra también una simultaneidad ‘vertical’, que puede parecernos desaforada pero que no constituye ni provoca ningún absurdo.
   Siguiendo nuestro gráfico, la discreta gestación de la arcilla con la que se fabricará el primer ladrillo que ubicará el albañil es la única actividad que ocupa el escenario de 8:59:36 a 8:59:52. De 8:59:52 a 9:00:00, la formación de la arcilla para el segundo ladrillo y la fabricación del primero comparten la escena. La simultaneidad es triple de 9:00:00 a 9:00:04: el albañil pone su primer ladrillo, el fabricante prepara su segunda pieza y la naturaleza hace la arcilla para el tercer ladrillo que integrará la pared. Entre las 9:00:04 y las 9:00:06, el primer ladrillo permanece colocado, el segundo va a hacerle compañía, el tercero es fabricado y se forma la arcilla del que será el cuarto. La simultaneidad entre eventos de sagas diferentes (y que tienen duraciones distintas de 0) va creciendo al ritmo de la pared, hasta volverse infinita, como ella, a las 9:00:08 (donde todos los hechos son instantáneos). (Visto así, el esquema bien podría ser el de un canon en el que, al momento de entrar una nueva voz, la que venía cantando cantara la mitad de tiempo que en el turno anterior.)
   Si la colocación de cada uno de los ladrillos presupusiera una serie infinita de hechos, el esquema cambiaría su forma triangular por una cuadrangular: la simultaneidad vertical de infinitas instancias se daría no sólo en el intervalo que va de las 9:00:08 a las 9:00:08, sino en todos.

III. EPÍLOGO

5. Los dos infinitos y el tiempo


1.

   El crecimiento de la pared converge hacia las 9:00:08, que es la hora de su infinitud. Salvo esta, cualquier hora en que el albañil usa un ladrillo pertenece a esa cronología, es un hito en esa convergencia. Pero es a la vez el instante hacia el cual converge la cronología de la cadena de componentes que posibilitan la existencia y presencia de ese ladrillo a esa hora (a las 9:00:00, para el primero; a las 9:00:04, para el segundo; etc.). Si esa cadena fuese infinita, a esa hora, en ese instante, estaríamos ya en el límite de una infinitud; no nos encontraríamos transitando una sucesión infinita (es decir, en un ir interminable), sino instalados en su límite (perspectiva desde la cual la sucesión es un venir interminable). En esta imaginación, si para la pared el infinito está siempre adelante, para cada uno de sus ladrillos está ya atrás.
   Notemos que se acaba de invertir la suposición que ha dominado casi todo el ensayo: ya no realizamos que estamos en el límite de una serie infinita (a las 9:00:08, por ejemplo), sino que aquí donde estamos (que puede ser cualquier hora de la jornada) es el límite de una serie infinita. Los derechos de suposición no tienen el mismo peso en ambos casos, diferencia que traduce la de las infinitudes que administran: la infinitud de la pared, que se deduce de su historia, está prevista; la de los componentes, en cambio, es sólo una imaginación que uno puede arrimar, por ejemplo, para explorar el nuevo cuadro que se forma —como acabamos de hacer— y las reacciones que provoca —como haremos ahora.

2.

   La residencia en el límite y el pasado infinito son corolarios genuinos de una cadena infinita de componentes. Un viejo argumento, esta vez retrospectivo, querrá exhibirlos como absurdos para refutar la infinitud de la que se siguen. Dice así: si la historia de cada ladrillo se remonta a un pasado infinitamente remoto, ¿cómo logra recorrer esa infinitud y alcanzar el presente?; si el presente del albañil es, como el futuro de su pared, la meta de un recorrido infinito, ¿el momento del comienzo de la construcción no debería ser tan inalcanzable aquí como lo era allá el momento de su finalización? Sin embargo, acá estamos, ahí está el albañil manipulando una nueva pieza; luego, la remisión no puede ser infinita.
   El mismo razonamiento destinado a perpetuar la potencialidad del infinito es convocado en este caso para rechazar su realidad. En la variante prospectiva del argumento, llegar al infinito era utópico, pero no era —aún no tenía necesidad de ser— absurdo; lo es ahora el haber llegado. Aquel infinito era potencial; este es actual. Ambos se conciben y se traman en la lógica ordinal que gobiernan el tiempo y su flujo. El primero, un perpetuo devenir en infinito, tuvo la prudencia de postularse para el futuro; el segundo se resolvió: devino y copó el pasado.
   La conducta propia de un infinito potencial es la postergación pertinaz de un final; su aplicación a un inicio de lo que ya existe hace que un infinito actual luzca insensato. En su reducción al absurdo, en definitiva, se impugna la infinitud de las regresiones con una idea que está en la base de todo regressus in infinitum: lo existente, lo efectivo, no puede tener una distancia infinita con su origen (tal cual sucede en un infinito actual; en uno potencial, es un destino lo que está a esa distancia).

3.

   Resumiendo: el talante existencial de cada infinito deriva de su ubicación en la línea del tiempo. La flecha que en el infinito potencial tiene al presente por punto de partida o de cruce, en el infinito actual lo tiene por meta ya alcanzada. O también: la longitud infinita de la trayectoria que traza la flecha es admisible cuando el blanco está en el futuro, e inadmisible cuando está en el presente. La tercera es la vencida: en la lógica de las vicisitudes de un devenir, en la sujeción a un proceso gradual o a una tarea progresiva, el infinito es tolerable en el futuro, como potencialidad perenne, y es intolerable en el pasado, como realidad consumada y efecto vigente.
   En el primer caso, el infinito no es real: es el fantasma de una proyección; en el segundo, es él quien afantasma a la realidad (no otro peligro se quiere conjurar con su reducción al absurdo).